Um tanque de paredes rígidas e adiabáticas contém inicialmente 5 kg de ar a 5 bar e 500 K . Um pequeno ponto de ferrugem se desenvolve na parede do tanque provocando o vazamento lento do ar até que a pressão interna caia para 1 bar. Usando o modelo de gás ideal determine a massa de ar que permanece dentro do tanque no final do processo e a sua temperatura.

Passo 1

Então, o que a questão diz? A gente tem um tanque de paredes rígidas e sem troca de calor (adiabático) que começa com 5 kg de ar, pressão de 5 bar e temperatura de 500 K. Aí aparece um furinho e o ar vai vazando até a pressão interna cair para 1 bar. A gente precisa achar quanta massa de ar ficou lá dentro (m₂) e qual a temperatura final (T₂).
Conteúdo: termodinâmica de sistema aberto (controle de massa e energia), gás ideal. Vamos usar:
  • Balanço de massa (óbvio: massa vai saindo)
  • Balanço de energia para volume de controle (adiabático, sem trabalho), considerando entalpia do fluxo que sai
  • Equação de estado do gás ideal: pV = mRT

Passo 2

Balanço de energia para volume de controle:
Como não entra calor (Q=0) nem trabalho (W=0), a variação de energia interna do ar que fica (dU) é igual à energia que sai com o fluxo de massa:
dU = –h·dm_out
Mas U = m·u, e para gás ideal u = c_v·T; a entalpia h = c_p·T. Se dm_out é a massa que sai (>0), dm (variação da massa dentro) = –dm_out.
Logo:
d(m·u) = –h·dm_out = h·dm
Substituindo u = c_v·T e h = c_p·T:
d(m·c_v·T) = c_p·T·dm

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo:
c_v·(m·dT + T·dm) = c_p·T·dm
Reorganizando:
c_v·m·dT = (c_p – c_v)·T·dm
Mas c_p – c_v = R, e R/c_v = γ – 1, onde γ = c_p/c_v. Então:
m·dT = (R/c_v)·T·dm = (γ – 1)·T·dm
Dividindo por T·m:
dT/T = (γ – 1)·dm/m

Passo 4

Integramos de estado 1 a 2:
∫₁² dT/T = (γ – 1) ∫₁² dm/m
⇒ ln(T₂/T₁) = (γ – 1)·ln(m₂/m₁)
(1) T₂/T₁ = (m₂/m₁)^(γ – 1)
Também, pela equação de estado (V constante):
p₁V = m₁R T₁ e p₂V = m₂R T₂
Dividindo:
p₂/p₁ = (m₂ T₂)/(m₁ T₁)
⇒ p₂/p₁ = (m₂/m₁)·(T₂/T₁)
Substituindo (1):
p₂/p₁ = (m₂/m₁)·(m₂/m₁)^(γ – 1) = (m₂/m₁)^γ
Logo:
(2) m₂/m₁ = (p₂/p₁)^(1/γ)
E daí de (1):
T₂/T₁ = (m₂/m₁)^(γ – 1) = (p₂/p₁)^((γ – 1)/γ)

Passo 5

Agora só botar números:
m₁ = 5 kg, T₁ = 500 K, p₁ = 5 bar, p₂ = 1 bar, γ = 1,4
m₂ = 5·(1/5)^(1/1,4) ≃ 5·0,317 ≃ 1,59 kg
T₂ = 500·(1/5)^((1,4–1)/1,4) = 500·(1/5)^(0,4/1,4) ≃ 500·0,632 ≃ 316 K

Resposta

m₂ ≃ 1,59 kg
T₂ ≃ 316 K

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