Um tanque com um volume de
contém ar a
e
. O tanque está conectado a uma linha de ar comprimido que fornece ar em condições constantes de
e 1500 kPa . Uma válvula na linha encontra-se rachada, de modo que o ar escoa lentamente para dentro do tanque até que a pressão em seu interior fique igual à pressão da linha de ar comprimido. Se o processo é lento o suficiente para que a temperatura no tanque permaneça a
, que quantidade de calor é perdida pelo tanque? Considere o ar como um gás ideal para o qual
.
Passo 1
Beleza, temos um tanque de volume fixo V=0,1 m³ com ar inicialmente a T₁=25 °C (298,15 K) e P₁=101,33 kPa. Ele é ligado a uma linha onde o ar está a Tₗ=45 °C (318,15 K) e P₂=1500 kPa. Abrem-se devagar a válvula e o ar entra até a pressão interna ficar P₂, mas o tanque se mantém sempre a T₁ (processo isotérmico).
Conteúdo da matéria: Termodinâmica – 1ª Lei de TD em sistema aberto (controle de volume), gás ideal.
O que vamos precisar:
• Ur prática da equação de estado do gás ideal para achar massas inicial e final;
• Balanço de energia (1ª Lei) pra um volume de controle com entrada de massa;
• Cp e Cv do ar (Cp=7/2·R, Cv=5/2·R).
Conteúdo da matéria: Termodinâmica – 1ª Lei de TD em sistema aberto (controle de volume), gás ideal.
O que vamos precisar:
• Ur prática da equação de estado do gás ideal para achar massas inicial e final;
• Balanço de energia (1ª Lei) pra um volume de controle com entrada de massa;
• Cp e Cv do ar (Cp=7/2·R, Cv=5/2·R).
Passo 2
Calcular as massas inicial e final no tanque usando a equação do gás ideal
m₁ = P₁·V / (R·T₁)
m₂ = P₂·V / (R·T₁)
(só muda a pressão, a temperatura no tanque é constante T₁)
m₁ = P₁·V / (R·T₁)
m₂ = P₂·V / (R·T₁)
(só muda a pressão, a temperatura no tanque é constante T₁)
Passo 3
Determinar a massa que entrou
Δm = m₂ – m₁
Δm = (P₂ – P₁)·V / (R·T₁)
Δm = m₂ – m₁
Δm = (P₂ – P₁)·V / (R·T₁)
Passo 4
Escrever o balanço de energia para volume de controle
U₂ – U₁ = Q + Δm·hₙₐₒ
Onde hₙₐₒ é a entalpia do ar que entrou (hₙₐₒ = Cp·Tₗ).
Como U = m·Cv·T₁, temos
U₂ – U₁ = (m₂ – m₁)·Cv·T₁ = Δm·Cv·T₁
U₂ – U₁ = Q + Δm·hₙₐₒ
Onde hₙₐₒ é a entalpia do ar que entrou (hₙₐₒ = Cp·Tₗ).
Como U = m·Cv·T₁, temos
U₂ – U₁ = (m₂ – m₁)·Cv·T₁ = Δm·Cv·T₁
Então
Q = (U₂ – U₁) – Δm·hₙₐₒ
Q = Δm·Cv·T₁ – Δm·Cp·Tₗ
Q = Δm·(Cv·T₁ – Cp·Tₗ)
Q = (U₂ – U₁) – Δm·hₙₐₒ
Q = Δm·Cv·T₁ – Δm·Cp·Tₗ
Q = Δm·(Cv·T₁ – Cp·Tₗ)
Passo 5
Substituir números:
Δm = (P₂ – P₁)·V / (R·T₁)
Cv·T₁ = (5/2)·R·T₁
Cp·Tₗ = (7/2)·R·Tₗ
Δm = (P₂ – P₁)·V / (R·T₁)
Cv·T₁ = (5/2)·R·T₁
Cp·Tₗ = (7/2)·R·Tₗ
Logo
Q = (P₂ – P₁)·V / (R·T₁) · [ (5/2)R·T₁ – (7/2)R·Tₗ ]
= (P₂ – P₁)·V · [ 5/2 – (7/2)·(Tₗ/T₁) ]
Q = (P₂ – P₁)·V / (R·T₁) · [ (5/2)R·T₁ – (7/2)R·Tₗ ]
= (P₂ – P₁)·V · [ 5/2 – (7/2)·(Tₗ/T₁) ]
Com P₂=1 500 000 Pa, P₁=101 330 Pa, V=0,1 m³, T₁=298,15 K, Tₗ=318,15 K, dá
Tₗ/T₁ ≈ 1,067
[5/2 – (7/2)·1,067] ≈ –1,233
Logo
Q ≈ (1 500 000 – 101 330)·0,1·(–1,233) ≈ –1,72·10⁵ J
Tₗ/T₁ ≈ 1,067
[5/2 – (7/2)·1,067] ≈ –1,233
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Q ≈ (1 500 000 – 101 330)·0,1·(–1,233) ≈ –1,72·10⁵ J
Resposta
O tanque perde aproximadamente 1,72×10^5 J (172 kJ) de calor para manter a temperatura constante.