A taxa de transferência de calor entre um certo motor elétrico e sua vizinhança varia com o tempo conforme
sendo
em segundos e
em kW. O eixo do motor gira a uma velocidade constante de
e aplica um torque constante de
a uma carga externa. O motor consome uma potência elétrica de entrada constante e igual a
. Para o motor, represente graficamente
e
e a variação de energia
como funções do tempo, de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um motor elétrico que está transferindo calor para o ambiente de uma maneira que varia com o tempo, conforme a equação dada. Além disso, o motor está girando a uma velocidade constante e aplicando um torque constante em uma carga externa. A potência elétrica que ele consome também é constante. O que precisamos fazer é representar graficamente a taxa de transferência de calor (
), a potência de trabalho (
) e a variação de energia (
) em função do tempo, de 0 a 120 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica relacionados à transferência de calor, potência e variação de energia. Vamos também usar algumas fórmulas básicas de física para calcular essas grandezas e, depois, podemos descrever como elas se comportam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a taxa de transferência de calor
. A equação dada é:
Aqui,
é o tempo em segundos e
está em kW. O sinal negativo indica que o calor está sendo transferido do motor para o ambiente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a potência de trabalho
que o motor está realizando. Sabemos que potência está relacionada ao torque (
) e à velocidade angular (
) pela fórmula:
Substituindo os valores fornecidos:
Então, a potência de trabalho é constante e igual a 1,8 kW.
Passo 4
Agora, vamos analisar a potência elétrica consumida pelo motor, que é dada como constante e igual a 2,0 kW. Isso significa que a energia elétrica está sendo convertida em trabalho e calor.
Podemos escrever a equação de balanço de energia para o motor:
Onde:
-
é a potência elétrica consumida. -
é a taxa de transferência de calor. -
é a potência de trabalho. -
é a taxa de variação de energia interna do sistema.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação de balanço de energia para encontrar a taxa de variação de energia interna:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Agora, vamos substituir a expressão de
que foi dada:
Passo 7
Para encontrar a variação de energia
, precisamos integrar a taxa de variação de energia ao longo do tempo:
Como
, a constante
é igual a:
Portanto:
Resposta
Pronto! Agora temos as expressões para
,
e
em função do tempo:
Essas equações mostram como a taxa de transferência de calor
aumenta com o tempo, a potência de trabalho
permanece constante, e a variação de energia
cresce de forma linear com um ajuste exponencial devido ao termo
. Para
de 0 a 120 segundos, você pode plotar esses gráficos para visualizar o comportamento dessas grandezas ao longo do tempo.