A taxa de transferência de calor entre um certo motor elétrico e sua vizinhança varia com o tempo conforme dotQ=-0,2[1-e^(-0,05 t)] sendo t em segundos e dotQ em kW. O eixo do motor gira a uma velocidade constante de omega=100 rad / s e aplica um torque constante de T=18 N cdot m a uma carga externa. O motor consome uma potência elétrica de entrada constante e igual a 2,0 kW. Para o motor, represente graficamente dotQ e dotW e a variação de energia De como funções do tempo, de t= 0 at=120 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um motor elétrico que está transferindo calor para o ambiente de uma maneira que varia com o tempo, conforme a equação dada. Além disso, o motor está girando a uma velocidade constante e aplicando um torque constante em uma carga externa. A potência elétrica que ele consome também é constante. O que precisamos fazer é representar graficamente a taxa de transferência de calor ( dotQ), a potência de trabalho ( dotW) e a variação de energia ( De) em função do tempo, de 0 a 120 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica relacionados à transferência de calor, potência e variação de energia. Vamos também usar algumas fórmulas básicas de física para calcular essas grandezas e, depois, podemos descrever como elas se comportam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a taxa de transferência de calor dotQ. A equação dada é:
dotQ = -0,2 [1 - e^-0,05 t]
Aqui, t é o tempo em segundos e dotQ está em kW. O sinal negativo indica que o calor está sendo transferido do motor para o ambiente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência de trabalho dotW que o motor está realizando. Sabemos que potência está relacionada ao torque ( T) e à velocidade angular ( omega) pela fórmula:
dotW = T cdot omega
Substituindo os valores fornecidos:
dotW = 18 , Ncdotm times 100 , rad/s = 1800 , W = 1,8 , kW
Então, a potência de trabalho é constante e igual a 1,8 kW.

Passo 4

Agora, vamos analisar a potência elétrica consumida pelo motor, que é dada como constante e igual a 2,0 kW. Isso significa que a energia elétrica está sendo convertida em trabalho e calor.
Podemos escrever a equação de balanço de energia para o motor:
Pelétrica = dotQ + dotW + dEdt é
Onde:
  • Pelétricaé é a potência elétrica consumida.
  • dotQ é a taxa de transferência de calor.
  • dotW é a potência de trabalho.
  • dEdt é a taxa de variação de energia interna do sistema.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação de balanço de energia para encontrar a taxa de variação de energia interna:
dEdt = Pelétrica - dotQ - dotW é
Substituindo os valores conhecidos:
dEdt = 2,0 , kW - dotQ - 1,8 , kW
dEdt = 0,2 , kW - dotQ

Passo 6

Agora, vamos substituir a expressão de dotQ que foi dada:
dEdt = 0,2 - [-0,2 (1 - e^-0,05 t)]
dEdt = 0,2 + 0,2 (1 - e^-0,05 t)
dEdt = 0,2 + 0,2 - 0,2 e^-0,05 t
dEdt = 0,4 - 0,2 e^-0,05 t , kW

Passo 7

Para encontrar a variação de energia De, precisamos integrar a taxa de variação de energia ao longo do tempo:
De
De
Como De, a constante C é igual a:
C = 0,20,05 = 4
Portanto:
De
De

Resposta

Pronto! Agora temos as expressões para dotQ, dotW e De em função do tempo:
dotQ(t) = -0,2 (1 - e^-0,05 t) , kW
dotW = 1,8 , kW
De
Essas equações mostram como a taxa de transferência de calor dotQ aumenta com o tempo, a potência de trabalho dotW permanece constante, e a variação de energia De cresce de forma linear com um ajuste exponencial devido ao termo e^-0,05 t. Para t de 0 a 120 segundos, você pode plotar esses gráficos para visualizar o comportamento dessas grandezas ao longo do tempo.

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