A temperatura em uma corrente de processo deve ser continuamente monitorada. Sua função é verificar o quanto a temperatura da corrente varia durante o dia. A medida de temperatura é realizada utilizando um termômetro de vidro (contendo mercúrio no seu interior) instalado na tubulação. Com o tempo, as marcações de temperatura desapareceram do vidro, restando somente a marca de
. Sabendo que no interior do termômetro existem 1 grama de mercúrio e que o diâmetro interno do bulbo cilíndrico do termômetro é de
, determine a altura da coluna de mercúrio, em relação a base do termômetro, quando a temperatura estiver a
e a altura da coluna quando a temperatura estiver a
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- A altura da coluna de mercúrio em relação à base do termômetro quando a temperatura é
. - A altura da coluna de mercúrio quando a temperatura é
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Massa de mercúrio:
. - Diâmetro interno do bulbo cilíndrico (capilar):
. - Não foi dada explicitamente a densidade do mercúrio nem o coeficiente de expansão; adotaremos valores padrão para mercúrio (ver passo seguinte).
Passo 2
Geometria do problema e relação básica volume↔altura:
- O bulbo/capilar interno é cilíndrico, portanto a área da seção transversal é
onde
é o diâmetro interno. Aqui
tem unidade
.
- O volume total do mercúrio dentro do tubo até a base é o volume do cilindro de altura
:
Portanto, a altura
é dada por
Expliquei o que é cada variável:
(volume do mercúrio),
(área da seção),
(altura da coluna).
Passo 3
Relação massa ↔ densidade ↔ volume:
- A massa, densidade e volume estão relacionados por
onde
é a densidade do mercúrio à temperatura considerada (unidade
).
- Substituindo em
obtemos a fórmula prática que vamos usar:
Aqui
é conhecido,
depende de
(conhecido) e
depende da temperatura.
Passo 4
Valores físicos adotados e comportamento com a temperatura:
- Vamos adotar o valor padrão da densidade do mercúrio a
:
(Esta é uma valor usual aproximado de
.)
- O mercúrio tem coeficiente de dilatação volumétrica aproximadamente
Explicação didática: quando a temperatura aumenta, o volume do mercúrio cresce segundo
onde
. Como a massa permanece constante, a densidade varia como
Aqui
é a densidade na temperatura de referência
(aqui
) e
.
Passo 5
Cálculo da área da seção
(passo a passo):
- Usando
,
Expliquei: ao calcular
temos
, dividido por
dá
, multiplicando por
obtemos aproximadamente
.
Passo 6
Altura da coluna a
:
- Primeiro o volume do mercúrio a
:
- Agora a altura usando
:
Comentário prático: esse valor grande vem do fato do diâmetro ser muito pequeno (coluna muito fina), então uma pequena massa ocupa uma altura grande.
Passo 7
Altura da coluna a
(passo a passo usando dilatação):
- Diferença de temperatura:
- Fator volumétrico
:
- Densidade do mercúrio a
:
- Volume a
:
- Altura a
:
Observação: alternativamente observe que
varia inversamente com
, então
, que dá o mesmo número.
Passo 8
Interpretação final e incentivo:
- A coluna sobe de cerca de
para quando a temperatura aumenta de para . Esse acréscimo é aproximadamente (14 cm). - Calma, é normal se assustar com números grandes — a razão é o diâmetro muito pequeno. Se você tivesse que fazer isso na prova, siga exatamente esses passos: calcule
, use e ajuste com para temperaturas diferentes. Você consegue!