Usando uma das relaçöes de Maxwell, a variaçio da entalpia com relaçåo à pressão, mantendo-se a temperatura constante,
é determinada pela express3o
(A)
(A)
Passo 1
O enunciado pede a expressão de
(variação parcial da entalpia com a pressão, à temperatura constante) usando uma das relações de Maxwell.
A única informação dada é a opção (A): .
Nossa tarefa: derivar a expressão correta e verificar se a alternativa (A) está certa.
A única informação dada é a opção (A):
Nossa tarefa: derivar a expressão correta e verificar se a alternativa (A) está certa.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de entalpia e algumas variáveis (explico como se fosse numa prova):
-
é a entalpia por massa (ou por mol, dependendo da convenção usada no enunciado). -
é a energia interna. -
é a pressão. -
é o volume específico (volume por massa) ou volume molar. -
é a temperatura.
Definição:.
Queremos usar diferenciais e relações termodinâmicas para achar.
Passo 3
Calculemos o diferencial de
. Diferenciando
obtemos
Agora precisamos de uma expressão para
. A primeira lei da termodinâmica (para um sistema simples e sem trabalho de outros tipos) na forma termodinâmica fundamental dá
onde
é a entropia e note que aqui
e
têm os significados usuais. Substituindo em
:
Portanto chegamos à relação diferencial simples e muito útil:
Passo 4
Agora extraímos a derivada parcial que queremos. Mantendo
constante e derivando
em relação a
,
Explicação do porquê: na expressão
, se fazemos variação só em
mantendo
fixo, o termo
pode sair da derivada (pois é constante no diferencial parcial) e
multiplica
diretamente.
Passo 5
Falta relacionar
a derivadas de
. Para isso usamos a função energia livre de Gibbs, que é a que naturalmente depende de
e
. Definimos
Diferenciando
obtemos (padrão em termodinâmica)
Usando
na expressão acima, vem
Logo
tem diferencial
. Daqui tiramos as relações:
Passo 6
Usamos a propriedade de igualdade de derivadas parciais cruzadas (teorema de Schwarz) sobre
:
Substituindo as expressões para
e
obtemos
ou seja
Portanto a relação de Maxwell que precisamos é
Passo 7
Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo a relação de Maxwell do Passo 6:
Logo a expressão final é
Passo 8
Compare com a alternativa (A) fornecida:
.
Observação clara: a derivada correta que aparece é (derivada de
em relação a
mantendo
constante), e não
. Portanto a alternativa (A) está incorreta.
Observação clara: a derivada correta que aparece é
Passo 9
Um pequeno check (exemplo) para fixar a intuição: para um gás ideal temos
. Então
e a expressão dá
o que é consistente com o fato conhecido de que a entalpia de gás ideal não depende da pressão (à mesma temperatura). Isso confirma que a forma com derivada em relação a
está correta.
Resposta
A alternativa (A) está incorreta. A expressão correta é
.