Usando uma das relaçöes de Maxwell, a variaçio da entalpia com relaçåo à pressão, mantendo-se a temperatura constante,
\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} é determinada pela express3o
(A) v-T\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}

Passo 1

O enunciado pede a expressão de \left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} (variação parcial da entalpia com a pressão, à temperatura constante) usando uma das relações de Maxwell.
A única informação dada é a opção (A): \displaystyle v-T\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}.
Nossa tarefa: derivar a expressão correta e verificar se a alternativa (A) está certa.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de entalpia e algumas variáveis (explico como se fosse numa prova):
  • \,h é a entalpia por massa (ou por mol, dependendo da convenção usada no enunciado).
  • \,u é a energia interna.
  • \,p é a pressão.
  • \,v é o volume específico (volume por massa) ou volume molar.
  • \,T é a temperatura.
    Definição: \displaystyle h = u + p\,v.
    Queremos usar diferenciais e relações termodinâmicas para achar \left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T}.

Passo 3

Calculemos o diferencial de \,h. Diferenciando \,h=u+p v obtemos
dh = du + p\,dv + v\,dp.
Agora precisamos de uma expressão para du. A primeira lei da termodinâmica (para um sistema simples e sem trabalho de outros tipos) na forma termodinâmica fundamental dá
du = T\,ds - p\,dv,
onde \,s é a entropia e note que aqui T e s têm os significados usuais. Substituindo em dh:
dh = (T\,ds - p\,dv) + p\,dv + v\,dp = T\,ds + v\,dp.
Portanto chegamos à relação diferencial simples e muito útil:
dh = T\,ds + v\,dp.

Passo 4

Agora extraímos a derivada parcial que queremos. Mantendo T constante e derivando h em relação a p,
\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} + v.
Explicação do porquê: na expressão dh = T\,ds + v\,dp, se fazemos variação só em p mantendo T fixo, o termo T pode sair da derivada (pois é constante no diferencial parcial) e v multiplica dp diretamente.

Passo 5

Falta relacionar \left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} a derivadas de v. Para isso usamos a função energia livre de Gibbs, que é a que naturalmente depende de T e p. Definimos
g = h - T s.
Diferenciando g obtemos (padrão em termodinâmica)
dg = dh - T\,ds - s\,dT.
Usando dh = T\,ds + v\,dp na expressão acima, vem
dg = (T\,ds + v\,dp) - T\,ds - s\,dT = -s\,dT + v\,dp.
Logo g=g(T,p) tem diferencial dg = -s\,dT + v\,dp. Daqui tiramos as relações:
s = -\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)_{p},\qquad v = \left(\frac{\partial g}{\partial p}\right)_{T}.

Passo 6

Usamos a propriedade de igualdade de derivadas parciais cruzadas (teorema de Schwarz) sobre g(T,p):
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right) = \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial g}{\partial p}\right).
Substituindo as expressões para s e v obtemos
\frac{\partial}{\partial p}\big(-s\big)_{T} = \frac{\partial}{\partial T}\big(v\big)_{p},
ou seja
-\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} = \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
Portanto a relação de Maxwell que precisamos é
\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.

Passo 7

Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo a relação de Maxwell do Passo 6:
\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T} + v = T\left[-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\right] + v.
Logo a expressão final é
\boxed{\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} = v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.}

Passo 8

Compare com a alternativa (A) fornecida: \displaystyle v - T\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}.
Observação clara: a derivada correta que aparece é \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} (derivada de v em relação a T mantendo p constante), e não \left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}. Portanto a alternativa (A) está incorreta.

Passo 9

Um pequeno check (exemplo) para fixar a intuição: para um gás ideal temos \,v=\dfrac{R T}{p}. Então
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}=\frac{R}{p},
e a expressão dá
\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T}=v - T\cdot\frac{R}{p}=\frac{R T}{p}-\frac{R T}{p}=0,
o que é consistente com o fato conhecido de que a entalpia de gás ideal não depende da pressão (à mesma temperatura). Isso confirma que a forma com derivada em relação a T está correta.

Resposta

A alternativa (A) está incorreta. A expressão correta é \displaystyle \left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_{T} = v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.

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