TENDO EM CONTA OS CONCEITOS DE TENSÓES E DEFORMAÇÖES DEVIDO A DIFERENÇA DE TEMPERATURA. ANALISE, CALCULE E JUSTIFIQUE A MAGNITUDE DOS TEUS CALCULOS.
3.1 Uma barra de aço de 2,50 \mathrm{~m} de comprimento está firmemente engastada entre duas paredes. Se a tensão na barra é nula a 20 C^{\circ}, determinar a tensão que aparecerá ao descer a temperatura para -20 C^{0}. A secção é de 12 \mathrm{Cm}^{2}, \propto=1,17 \times 10^{-5} / \mathrm{C}^{0} e E Aço =2,1 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{Cm}^{2}. Resolver o problema em dois casos ou seja em duas condições:
a) Paredes completamente rígidas e indeformáveis
b) Paredes que cedem ligeiramente, diminuindo sua distância em 0,5 \mathrm{~mm} para uma diminuição a - 20 C^{0}, por efeito da tração que aparece na barra.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de aço engastada entre paredes sem tensão a 20\,^\circ\mathrm{C}. Os dados são:
\displaystyle L_{0}=2,50\,\mathrm{m}=250\,\mathrm{cm},
\displaystyle A=12\,\mathrm{cm^{2}},
\displaystyle \alpha=1,17\times10^{-5}/{}^\circ\mathrm{C},
\displaystyle E=2,1\times10^{6}\,\mathrm{kgf/cm^{2}}.
Queremos a tensão gerada ao baixar a temperatura para -20\,^\circ\mathrm{C} ( \Delta T=-40\,^\circ\mathrm{C}), em dois casos:
a) paredes perfeitamente rígidas;
b) paredes cedem, diminuindo a distância em 0,5\,\mathrm{mm}=0,05\,\mathrm{cm}.

Passo 2

Calcular a contração térmica livre da barra:
\Delta L_{\text{th}} =\alpha\,\Delta T\,L_{0} =1,17\times10^{-5}\times(-40)\times250 =-0,117\,\mathrm{cm}.
A deformação térmica livre é
\varepsilon_{\text{th}} =\frac{\Delta L_{\text{th}}}{L_{0}} =\frac{-0,117}{250} =-4{,}68\times10^{-4}.

Passo 3

Caso (a): paredes rígidas impedem qualquer contração ( \Delta L_{\text{real}}=0), logo a deformação mecânica necessária anula a térmica:
\varepsilon_{\text{me}}=-\varepsilon_{\text{th}} =4{,}68\times10^{-4}.
A tensão gerada é
\sigma =E\,\varepsilon_{\text{me}} =2{,}1\times10^{6}\times4{,}68\times10^{-4} \approx982{,}8\,\mathrm{kgf/cm^{2}}.
A força interna vale
F=\sigma\,A =982{,}8\times12 \approx1,18\times10^{4}\,\mathrm{kgf}.

Passo 4

Caso (b): paredes cedem, permitindo \Delta L_{\text{real}}=-0,05\,\mathrm{cm}. A contração impedida é
\Delta L_{p} =\Delta L_{\text{real}}-\Delta L_{\text{th}} =-0,05-(-0,117) =+0,067\,\mathrm{cm}.
Assim a deformação mecânica é
\varepsilon_{\text{me}} =\frac{\Delta L_{p}}{L_{0}} =\frac{0,067}{250} =2{,}68\times10^{-4}.
Logo a tensão e a força são
\sigma =E\,\varepsilon_{\text{me}} =2{,}1\times10^{6}\times2{,}68\times10^{-4} \approx562{,}8\,\mathrm{kgf/cm^{2}},
F=\sigma\,A =562{,}8\times12 \approx6,75\times10^{3}\,\mathrm{kgf}.

Resposta

a) \sigma\approx982{,}8\,\mathrm{kgf/cm^{2}}, F\approx1,18\times10^{4}\,\mathrm{kgf}.
b) \sigma\approx562{,}8\,\mathrm{kgf/cm^{2}}, F\approx6,75\times10^{3}\,\mathrm{kgf}.

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