A tensão interna gerada
de um gerador síncrono trifásico ligado em
e 2 polos é 14,4 kV e a tensão de terminal
é
. A reatância síncrona dessa máquina é
e a resistência de armadura pode ser ignorada.
(a) Se o ângulo de conjugado do gerador for
, quanta potência será fornecida por esse gerador?
(b) Qual é o fator de potência do gerador?
© Desenhe o diagrama fasorial nessas circunstâncias.
(d) Ignorando as perdas desse gerador, qual conjugado deve ser aplicado ao eixo pela máquina motriz nessas condições?
(a) Se o ângulo de conjugado do gerador for
(b) Qual é o fator de potência do gerador?
© Desenhe o diagrama fasorial nessas circunstâncias.
(d) Ignorando as perdas desse gerador, qual conjugado deve ser aplicado ao eixo pela máquina motriz nessas condições?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geradores síncronos! A gente tem um gerador trifásico ligado em Δ (delta) com frequência de 60 Hz e 2 polos. A tensão interna gerada é de 14,4 kV, a tensão de terminal é de 12,8 kV, e a reatância síncrona é de 4 Ω. A resistência de armadura não vai interferir na gente, então podemos ignorá-la. Precisamos resolver quatro partes:
a) Descobrir quanta potência o gerador está fornecendo quando o ângulo de conjugado é 18°.
b) Encontrar o fator de potência desse gerador.
c) Desenhar o diagrama fasorial nessas condições.
d) Calcular o conjugado que precisa ser aplicado ao eixo pela máquina motriz, ignorando as perdas.
Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Quanta potência será fornecida pelo gerador quando o ângulo de conjugado é $ \delta = 18^\circ $.
Primeiro, vamos entender o que é o ângulo de conjugado. Em geradores síncronos, esse ângulo ($ \delta
E_A
V_T $). Ele está relacionado à potência que o gerador está fornecendo.
A fórmula para a potência ativa ($ P $) em um gerador síncrono é:
Onde:
- $ V_T $ é a tensão de terminal por fase.
- $ E_A $ é a tensão interna por fase.
- $ X_s $ é a reatância síncrona.
- $ \delta $ é o ângulo de conjugado.
Passo a Passo:
-
Calcular as tensões por fase: Já que o gerador está ligado em Δ, a relação entre a tensão de linha ($ V_L
V_{\phi} $) é $ V_L = \sqrt{3} V_{\phi} $. Porém, na fórmula da potência, usamos as tensões de linha diretamente. -
Aplicar a fórmula da potência:
- Substituir os valores:
- Calcular os valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, dividimos por $ X_s $:
E multiplicamos pelo seno de 18°:
Passo 3
Parte (b): Qual é o fator de potência do gerador?
O fator de potência (FP) indica a relação entre a potência ativa ($ P
S
\delta $).
A fórmula do fator de potência é:
Passo a Passo:
-
Entender a relação entre FP e $ \delta $: Em geradores síncronos, o FP é igual ao cosseno do ângulo de conjugado.
-
Aplicar a fórmula:
- Calcular o valor:
Portanto, o fator de potência é aproximadamente 0,951 ou 95,1%.
Passo 4
Parte ©: Desenhe o diagrama fasorial nessas circunstâncias.
Como não posso desenhar aqui, vou descrever como montar o diagrama fasorial:
Passo a Passo:
-
Desenhar o eixo horizontal: Esse será o eixo de referência.
-
Desenhar a tensão de terminal ($ V_T $): Representada como um vetor no eixo horizontal.
-
Desenhar a tensão interna ($ E_A $): Vem de $ V_T $ com um ângulo $ \delta = 18^\circ $ à frente de $ V_T $.
-
Mostrar a reatância síncrona ($ X_s $): Normalmente representada como um vetor perpendicular a $ E_A $.
-
Indicar a potência ativa ($ P
Q $): $ P $ está na direção horizontal, e $ Q $ na vertical.
Esse diagrama mostra a relação entre as tensões e a potência gerada, ilustrando o ângulo de conjugado e como ele afeta o fator de potência.
Passo 5
Parte (d): Ignorando as perdas desse gerador, qual conjugado deve ser aplicado ao eixo pela máquina motriz nessas condições?
Aqui, estamos falando do conjugado mecânico que a máquina motriz (como uma turbina) precisa aplicar para manter a operação do gerador síncrono sob as condições dadas.
A relação entre o conjugado mecânico ($ T_m
T_e $) é dada por:
Onde $ T_e $ é o conjugado elétrico, que pode ser calculado pela potência ativa dividida pela velocidade angular.
Passo a Passo:
- Calcular a velocidade angular ($ \omega $):
A velocidade síncrona ($ n_s $) em rotações por minuto (rpm) é dada por:
Onde:
- $ f = 60 Hz $
- $ P = 2 polos $
Então,
Convertendo para rad/s:
- Calcular o conjugado elétrico ($ T_e $):
Rearranjando:
Usando $ P = 42,65 kW = 42650 W $:
- Como não há perdas, o conjugado aplicado pela máquina motriz é igual a $ T_e $:
Resposta
a) A potência fornecida pelo gerador é aproximadamente 42,65 kW.
b) O fator de potência do gerador é 0,951 ou 95,1%.
c) O diagrama fasorial deve mostrar $ V_T $ no eixo horizontal, $ E_A $ com um ângulo de 18° à frente de $ V_T $, e a reatância síncrona perpendicular a $ E_A $, indicando as potências ativa e reativa.
d) O conjugado aplicado pela máquina motriz é de aproximadamente 113,3 Nm.