Uma tensão senoidal de 40 kHz tem ângulo de fase nulo e amplitude máxima de 2,5 \mathrm{mV}. Quando essa tensão é aplicada aos terminais de um capacitor, a corrente resultante de regime permanente tem amplitude máxima de 125,67 \mu \mathrm{~A}.
a) Qual é a frequência da corrente em radianos por segundo?
b) Qual é o ângulo de fase da corrente?
c) Qual é a reatância capacitiva do capacitor?
d) Qual é o valor da capacitância?
e) Qual a impedância do capacitor?

Passo 1

O enunciado nos dá uma tensão senoidal
v(t)=V_p\sin\bigl(\omega t+\varphi_v\bigr)
com f=40\\ \text{kHz}, \varphi_v=0 e V_p=2{,}5\\ \mathrm{mV}. Aplicando-a a um capacitor em regime permanente, mede-se a corrente de amplitude I_p=125{,}67\\ \mu\mathrm{A}. Usaremos as relações de fasores para capacitor:
I = j\,\omega C\,V,\quad I_p = \omega C\,V_p,\quad Z_C = \frac{1}{j\,\omega C}=-j\,X_C,\quad X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{V_p}{I_p}.

Passo 2

Calcular a frequência angular \omega. Sabendo que \omega=2\pi f e f=40\times10^3\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\,(40\times10^3) = 2\pi\cdot4,0\times10^4 \approx 2{,}51327\times10^5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar o ângulo de fase da corrente. Para um capacitor ideal a corrente adianta a tensão em 90^\circ (ou \pi/2 rad):
\varphi_i = \varphi_v + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad} \quad\bigl(=90^\circ\bigr).

Passo 4

Calcular a reatância capacitiva X_C por
X_C = \frac{V_p}{I_p} = \frac{2{,}5\times10^{-3}}{125{,}67\times10^{-6}} \approx 19{,}89\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a capacitância C. Usando I_p=\omega C\,V_p temos
C = \frac{I_p}{\omega\,V_p} = \frac{125{,}67\times10^{-6}}{(2{,}51327\times10^5)\,(2{,}5\times10^{-3})} \approx 2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{F} =0{,}20\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 6

Calcular a impedância do capacitor Z_C. Em forma fasorial:
Z_C = \frac{1}{j\,\omega\,C} = -\,j\,X_C = -\,j\,(19{,}89\\ \Omega).

Resposta

(a) \omega \approx 2{,}513\times10^5\\ \mathrm{rad/s}.
(b) \varphi_i = +\tfrac{\pi}{2}\\ \text{rad} (ou +90^\circ).
(c) X_C \approx 19{,}89\\ \Omega.
(d) C \approx 2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{F} (ou 0{,}20\\ \mu\mathrm{F}).
(e) Z_C = -\,j\,19{,}89\\ \Omega.

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