5.11
(a) Demonstre que o calor transferido durante um processo infinitesimal quase-estático de um gás perfeito pode ser escrito
₫ Q=\frac{C_{V}}{n R} V d P+\frac{C_{P}}{n R} P d V
Aplicando esta equação a um processo adiabático, demonstre que P V^{\gamma}= constante.
(b) Um gás perfeito, que ocupa um volume de 0,05 \mathrm{ft}^{3} e que se encontra a uma pressão de 120 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}, experimenta uma expansão adiabática quaseestática até que a pressão caia para 15 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}. Considerando que \gamma permanece constante no valor de 1,4 , qual é o volume final? Quanto trabalho é realizado?

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede e o que vamos usar.
– Em (a) temos um gás ideal, e queremos mostrar que, num processo quase‐estático infinitesimal,
\mathrm{d}Q=\frac{C_{V}}{nR}\,V\,dP+\frac{C_{P}}{nR}\,P\,dV
e, impondo \mathrm{d}Q=0 (adiabático), provar que
P\,V^{\gamma}=\text{constante},\quad\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}\,.
Para isso usaremos a Primeira Lei da Termodinâmica \mathrm{d}Q=dU+dW, o fato de que em gás ideal dU=nC_{V}dT e dW=P\,dV, e a equação de estado P\,V=nR\,T.
– Em (b) aplicamos o resultado adiabático a um gás que expande de (P_{1},V_{1})=(120\text{ psi},0,05\text{ ft}^{3}) até P_{2}=15\text{ psi}, com \gamma=1,4. Daí obtemos V_{2} e o trabalho
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV\.

Passo 2

Derivação da expressão de \mathrm{d}Q.
1. Pela Primeira Lei, \mathrm{d}Q=dU+dW.
2. Num gás ideal, dU=n\,C_{V}\,dT e dW=P\,dV.
3. Da equação de estado P\,V=nR\,T segue
d(PV)=nR\,dT \quad\Longrightarrow\quad dT=\frac{V\,dP+P\,dV}{nR}\.
4. Logo
dU = n\,C_{V}\,dT = C_{V}\,\frac{V\,dP+P\,dV}{R}\.

Passo 3

Substituindo em \mathrm{d}Q=dU+P\,dV e agrupando termos:
\mathrm{d}Q = C_{V}\,\frac{V\,dP+P\,dV}{R} + P\,dV = \frac{C_{V}}{nR}\,V\,dP + \Bigl(\frac{C_{V}}{nR}P + P\Bigr)dV = \frac{C_{V}}{nR}\,V\,dP + \frac{C_{P}}{nR}\,P\,dV
onde usamos C_{P}=C_{V}+nR.

Passo 4

Processo adiabático ( \mathrm{d}Q=0):
0 =\frac{C_{V}}{nR}\,V\,dP +\frac{C_{P}}{nR}\,P\,dV \;\Longrightarrow\; V\,dP+\gamma\,P\,dV=0, \quad\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}.
Dividindo por P\,V e integrando,
\frac{dP}{P}+\gamma\,\frac{dV}{V}=0 \;\Longrightarrow\; \ln P +\gamma\ln V=\text{constante} \;\Longrightarrow\; P\,V^{\gamma}=\text{constante.}

Passo 5

Parte (b): cálculo de V_{2}.
Para adiabática temos
P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma} \;\Longrightarrow\; V_{2} =V_{1}\Bigl(\frac{P_{1}}{P_{2}}\Bigr)^{1/\gamma}.
Substituindo P_{1}/P_{2}=120/15=8 e \gamma=1,4:
V_{2} =0{,}05\;\text{ft}^{3}\times 8^{1/1{,}4} \approx0{,}05\times 4{,}414 \approx0{,}221\;\text{ft}^{3}.

Passo 6

Cálculo do trabalho W.
Para adiabática
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma}.
Convertendo pressões de psi para lbf/ft ^2 ( 1 psi =144 lbf/ft ^2):
P_{1}=120\times144=17280\;\tfrac{\text{lbf}}{\text{ft}^{2}}, \quad P_{2}=15\times144=2160\;\tfrac{\text{lbf}}{\text{ft}^{2}}.
Então
W =\frac{2160\cdot0{,}221-17280\cdot0{,}05}{1-1{,}4} =\frac{477,36-864}{-0{,}4} \approx967,6\;\text{ft\cdotlbf}.

Resposta

(a)
\mathrm{d}Q=\frac{C_{V}}{nR}\,V\,dP+\frac{C_{P}}{nR}\,P\,dV, \quad\text{e em adiabático} \;\;\;P\,V^{\gamma}=\text{constante}.á
(b)
V_{2}\approx0{,}221\;\text{ft}^{3}, \qquad W\approx968\;\text{ft\cdotlbf}.

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