Desenvolva as seguintes equações na forma
P v=R \theta\left(1+\frac{B}{v}+\frac{C}{v^{2}}+\frac{D}{v^{3}}+\cdots\right)
e determine o segundo coeficiente do virial em cada caso:
\quad\left(P+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R \theta\quad) (van der Waals).

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a equação de van der Waals
\bigl(P + \tfrac{a}{v^{2}}\bigr)\,(v - b) = R\theta
na forma do virial
P\,v = R\theta\Bigl(1 + \tfrac{B}{v} + \tfrac{C}{v^{2}} + \cdots\Bigr)
e determinar o segundo coeficiente de virial B.

Passo 2

Isolamos P e multiplicamos por v:
P = \frac{R\theta}{\,v-b\,} \;-\;\frac{a}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad P\,v = R\theta\;\frac{v}{v-b}\;-\;\frac{a}{v}\,.

Passo 3

Expandimos a fração \tfrac{v}{v-b}=1/(1 - b/v) em série geométrica para b/v<1:
\frac{v}{v - b} = \frac{1}{1 - \tfrac{b}{v}} = 1 + \frac{b}{v} + \frac{b^{2}}{v^{2}} + \frac{b^{3}}{v^{3}} + \cdots.
Logo
P\,v = R\theta\Bigl(1 + \tfrac{b}{v} + \tfrac{b^{2}}{v^{2}} + \cdots\Bigr) \;-\;\frac{a}{v}.

Passo 4

Agrupando os termos 1/v em P\,v = R\theta\bigl(1 + B/v + \cdots\bigr), temos
P\,v = R\theta\Bigl[ 1 + \Bigl(b - \frac{a}{R\theta}\Bigr)\frac{1}{v} + \frac{b^{2}}{v^{2}} + \cdots \Bigr].
Dessa forma, o segundo coeficiente de virial é
B \;=\; b \;-\;\frac{a}{R\theta}.

Resposta

B = b - \dfrac{a}{R\,\theta}

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