Desenvolva as seguintes equações na forma
P v=R \theta\left(1+\frac{B}{v}+\frac{C}{v^{2}}+\frac{D}{v^{3}}+\cdots\right)
e determine o segundo coeficiente do virial em cada caso:
P=\frac{R \theta}{v-b} e^{-a / R \theta v} \quad) (Dieterici).

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado de Dieterici
P = \frac{R \theta}{v-b}\exp\Bigl(-\frac{a}{R \theta\,v}\Bigr)
e pede que a escrevamos na forma do virial
Pv = R \theta\Bigl(1 + \frac{B}{v} + \frac{C}{v^2} + \cdots\Bigr),
determinando o segundo coeficiente virial B. Vamos usar séries de Taylor em 1/v.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por v e reescrevemos
Pv = R \theta\,\frac{v}{v - b}\,\exp\!\Bigl(-\frac{a}{R \theta\,v}\Bigr).

Passo 3

Expandimos o fator racional usando
\frac{v}{v - b} = \frac{1}{1 - \tfrac{b}{v}} = 1 + \frac{b}{v} + \frac{b^2}{v^2} + \cdots.

Passo 4

Expandimos o exponencial em série de Taylor:
\exp\!\Bigl(-\frac{a}{R \theta\,v}\Bigr) = 1 - \frac{a}{R \theta}\,\frac{1}{v} + \frac{1}{2}\Bigl(\frac{a}{R \theta}\Bigr)^2\frac{1}{v^2} + \cdots.

Passo 5

Multiplicamos as duas séries até termos de ordem 1/v:
\bigl(1 + \tfrac{b}{v} + \cdots\bigr) \bigl(1 - \tfrac{a}{R \theta}\tfrac{1}{v} + \cdots\bigr) = 1 + \Bigl(b - \tfrac{a}{R \theta}\Bigr)\frac{1}{v} + \cdots.
Logo
Pv = R \theta\Bigl(1 + \bigl(b - \tfrac{a}{R \theta}\bigr)\tfrac{1}{v} + \cdots\Bigr).

Resposta

B = b - \frac{a}{R \theta}.

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