5.18 No método de Clément e Désormes, gás é admitido dentro de um container até que um manômetro contendo um líquido leve indique uma preśsão de 12 cm acima da pressão atmosférica. A expansão adiabática é então realizada. Quando o gás, finalmente, tiver retornado à sua temperatura inicial, a pressão estará 3,5 \mathrm{~cm} acima da presisão atmosférica. Qual é o valor de \gamma ?

Passo 1

O enunciado pergunta o valor do coeficiente adiabático \gamma = C_p/C_v usando o método de Clément e Désormes. A sequência é:
  1. Admitimos o gás até a pressão inicial P_1 = P_{\rm atm} + \rho g h_1,\quad h_1 = 12\text{ cm}.
  2. Fazemos expansão adiabática até a pressão externa P_2 = P_{\rm atm}.
  3. Fechamos o sistema e deixamos o gás aquecer, a volume constante, até voltar à temperatura inicial T_1, ocasião em que a pressão fica P_3 = P_{\rm atm} + \rho g h_3,\quad h_3 = 3{,}5\text{ cm}.
Para resolver, vamos usar as leis do gás ideal em processo adiabático e em processo isocórico.

Passo 2

No aquecimento isocórico de P_2, T_2 para P_3, T_3 (sendo T_3=T_1), vale
\frac{P_3}{T_3} \;=\;\frac{P_2}{T_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_2}{T_1} \;=\; \frac{P_2}{P_3} \;=\; \frac{P_{\rm atm}}{P_{\rm atm}+\rho g h_3}\,.

Passo 3

Na expansão adiabática de P_1,T_1 para P_2,T_2 obedecemos
T_2/T_1 \;=\; \bigl(P_2/P_1\bigr)^{(\gamma-1)/\gamma} \;=\; \biggl(\frac{P_{\rm atm}}{P_{\rm atm}+\rho g h_1}\biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de T_2/T_1 obtemos
\bigl(P_2/P_1\bigr)^{(\gamma-1)/\gamma} \;=\; \frac{P_2}{P_3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\gamma-1}{\gamma} \;=\; \frac{\ln(P_2/P_3)}{\ln(P_2/P_1)} \quad\Longrightarrow\quad \gamma \;=\; \frac{1}{1 - \dfrac{\ln(P_2/P_3)}{\ln(P_2/P_1)}}.

Passo 5

Como h_1 e h_3 são muito menores que a coluna de líquido equivalente a P_{\rm atm}, podemos usar a aproximação
\ln\bigl(1 + x\bigr)\approx x\quad(x\ll1),
com x_1 = h_1/H e x_3 = h_3/H, onde H = P_{\rm atm}/(\rho g). Então
\frac{\ln(P_2/P_3)}{\ln(P_2/P_1)} \;\approx\; \frac{-\ln(1 + h_3/H)}{-\ln(1 + h_1/H)} \;\approx\; \frac{h_3}{h_1}.
Logo
\gamma \;\approx\; \frac{1}{1 - \tfrac{h_3}{h_1}} \;=\; \frac{1}{1 - \tfrac{3{,}5}{12}} \;=\; \frac{1}{1 - 0{,}2917} \;\approx\;1{,}41.

Resposta

\gamma \approx 1{,}41

Exercícios de Livros Relacionados