5.10 Prove que o trabalho realizado por um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, durante uma expansão adiabática quase-estática, é igual a
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado trata de uma expansão adiabática quase-estática de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, partindo do estado inicial
até o estado final
. Queremos mostrar que o trabalho
realizado pelo gás pode ser escrito de três formas equivalentes:
Para isso usaremos a primeira lei da termodinâmica para processo adiabático (
), a dependência de
com a temperatura (
), a equação de estado
e a condição adiabática
constante.
Passo 2
Como
, a primeira lei dá
e para o gás perfeito com
constante temos
Substituindo e isolando
resulta
Integrando de
até
:
Passo 3
Usando
temos
Mas para gás perfeito
e
, logo
Substituindo nesta expressão de
obtemos
Passo 4
No processo adiabático vale
Dessa relação segue
Substituindo em
temos
temos