5.10 Prove que o trabalho realizado por um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, durante uma expansão adiabática quase-estática, é igual a
(a)
\begin{aligned} & W=C_{V}\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right) \\\ & W=\frac{P_{i} V_{i}-P_{j} V_{f}}{\gamma-1} \\\ & W=\frac{P_{i} V_{i}}{\gamma-1}\left[1-\left(\frac{P_{f}}{P_{i}}\right)^{(\gamma-1) / \gamma}\right] . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata de uma expansão adiabática quase-estática de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, partindo do estado inicial (P_i,V_i,\theta_i) até o estado final (P_f,V_f,\theta_f). Queremos mostrar que o trabalho W realizado pelo gás pode ser escrito de três formas equivalentes:
W = C_{V}\bigl(\theta_{i}-\theta_{f}\bigr),
W = \frac{P_{i}V_{i}-P_{f}V_{f}}{\gamma-1},
W = \frac{P_{i}V_{i}}{\gamma-1}\Bigl[1-\bigl(P_{f}/P_{i}\bigr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Bigr].
Para isso usaremos a primeira lei da termodinâmica para processo adiabático ( \delta Q=0), a dependência de U com a temperatura ( dU=C_V\,d\theta), a equação de estado PV=R\,\theta e a condição adiabática PV^\gamma= constante.

Passo 2

Como \delta Q=0, a primeira lei dá
dU + \delta W = 0
e para o gás perfeito com C_V constante temos
dU = C_V\,d\theta,\quad \delta W = P\,dV.
Substituindo e isolando \delta W resulta
\delta W = -\,dU = -\,C_V\,d\theta.
Integrando de \theta_i até \theta_f:
W = \int_i^f \delta W = -C_V\int_{\theta_i}^{\theta_f}d\theta = C_V\bigl(\theta_i-\theta_f\bigr).

Passo 3

Usando \theta = PV/R temos
W = C_V\Bigl(\frac{P_iV_i}{R}-\frac{P_fV_f}{R}\Bigr) = \frac{C_V}{R}\,\bigl(P_iV_i - P_fV_f\bigr).
Mas para gás perfeito C_P - C_V = R e \gamma = C_P/C_V, logo
\frac{C_V}{R} = \frac{1}{\gamma-1}.
Substituindo nesta expressão de W obtemos
W = \frac{P_iV_i - P_fV_f}{\gamma-1}.

Passo 4

No processo adiabático vale
P\,V^\gamma = \text{constante} \quad\Longrightarrow\quad P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma.
Dessa relação segue
V_f = V_i\bigl(P_i/P_f\bigr)^{1/\gamma} \quad\Longrightarrow\quad P_fV_f = P_iV_i\,(P_f/P_i)^{(\gamma-1)/\gamma}.
Substituindo em
\displaystyle W = \frac{P_iV_i - P_fV_f}{\gamma-1}
temos
W = \frac{1}{\gamma-1}\Bigl[P_iV_i - P_iV_i\,(P_f/P_i)^{(\gamma-1)/\gamma}\Bigr] = \frac{P_iV_i}{\gamma-1}\Bigl[1 - (P_f/P_i)^{(\gamma-1)/\gamma}\Bigr].

Resposta

W = C_{V}\bigl(\theta_{i}-\theta_{f}\bigr) = \frac{P_{i}V_{i}-P_{f}V_{f}}{\gamma-1} = \frac{P_{i}V_{i}}{\gamma-1}\Bigl[1-\bigl(P_{f}/P_{i}\bigr)^{(\gamma-1)/\gamma}\Bigr].

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