Um recipiente metálico cilíndrico, enegrecido em sua superfície externa, de 10 cm de altura e 5 cm de diâmetro, contém hélio líquido em seu ponto de ebulição normal de 4,2^{\circ} \mathrm{K}, no qual seu calor de vaporização é 21 \mathrm{~J} / \mathrm{g}. Envolvendo totalmente o recipiente de hélio existem paredes mantidas à temperatura do nitrogênio líquido ( 78^{\circ} \mathrm{K} ), tendo-se feito o vácuo no espaço intermediário. Que quantidade de hélio é perdida por hora?

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de paredes enegrecidas (emissividade \varepsilon=1), de altura 10\\ \mathrm{cm} e diâmetro 5\\ \mathrm{cm}, contendo hélio em ebulição a 4{,}2\\ \mathrm{K}. Esse cilindro está envolvido por paredes a 78\\ \mathrm{K} com vácuo entre elas, de modo que a transferência de calor se dá por radiação. Vamos usar a lei de Stefan–Boltzmann para corpos negros:
\dot{Q}=\varepsilon\,\sigma\,A\bigl(T_{\text{paredes}}^{4}-T_{\text{heli}}^{4}\bigr).

Passo 2

Calculamos a área externa total A do cilindro (lateral + duas bases). Convertendo para metros:
\begin{aligned} \text{altura }h&=0,10\\ \mathrm{m},\quad\text{diâmetro }D=0,05\\ \mathrm{m},\\\ \text{área lateral}&=\pi D\,h=\pi\cdot0{,}05\cdot0{,}10=0{,}015708\\ \mathrm{m}^{2},\\\ \text{área das bases}&=2\cdot\pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^{2} =2\pi\cdot(0{,}025)^{2}=0{,}003927\\ \mathrm{m}^{2},\\\ A&=0{,}015708+0{,}003927=0{,}019635\\ \mathrm{m}^{2}. \end{aligned}âáá

Passo 3

Aplicamos a lei de Stefan–Boltzmann. Usando \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}, T_{\text{paredes}}=78\\ \mathrm{K} e T_{\text{heli}}=4{,}2\\ \mathrm{K}:
T_{\text{paredes}}^{4}=78^{4}=3{,}7015\times10^{7}\\ \mathrm{K}^{4},\quad T_{\text{heli}}^{4}=4{,}2^{4}=311{,}17\\ \mathrm{K}^{4},
\dot{Q} =1\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot0{,}019635 \bigl(3{,}7015\times10^{7}-311{,}17\bigr) \approx0{,}0412\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Convertendo para energia por hora:
Q_{\text{h}}=\dot{Q}\times3600\\ \mathrm{s} =0{,}0412\\ \mathrm{W}\times3600\\ \mathrm{s} \approx148{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 5

A quantidade de hélio que se vaporiza é m=Q_{\text{h}}/L, onde L=21\\ \mathrm{J/g}:
m=\frac{148{,}4\\ \mathrm{J}}{21\\ \mathrm{J/g}} \approx7{,}07\\ \mathrm{g}.

Resposta

Aproximadamente 7{,}1\\ \mathrm{g} de hélio são perdidos por hora.

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