DEDUCIR LA EXPRESION DEL FLUJO DE CALOR PARA EL CASO DE LA PARED PLANA Y PLANA SUPERPUESTA Y LUEGO COMBINAR SU EFECTO CON LA CONVECCION A AMBOS LADOS DE LA PARED.

Passo 1

Qué pide el ejercicio y qué datos / supuestos tomo (muy claro):
  • Pedir 1: deducir la expresión del flujo de calor para una pared plana (homogénea, una sola capa).
  • Pedir 2: deducir la expresión del flujo de calor para una pared plana superpuesta (varias capas en serie).
  • Pedir 3: combinar el efecto de conducción en la(s) pared(es) con la convección en ambos lados de la pared (es decir, incluir resistencias convectivas en el exterior e interior).
    Supuestos que tomo (siempre explícitos para poder deducir fórmulas):
  • Estado estacionario (no hay variación temporal).
  • Transferencia unidimensional en la dirección x normal a la pared.
  • Sin generación interna de calor.
  • Propiedades térmicas constantes en cada capa ( k constante por capa).
  • Contacto perfecto entre capas (sin resistencia de contacto adicional salvo que se indique).
  • Temperaturas conocidas en los extremos (o en los fluidos exteriores cuando haya convección): T_1, T_2 o T_{\infty,1}, T_{\infty,2}.

Passo 2

Ley de Fourier y su integración para una pared homogénea: explicación didáctica paso a paso.
  • La forma diferencial de la ley de conducción de Fourier en 1D es:
q_x = -k\,\frac{dT}{dx}
donde q_x es la densidad de flujo de calor en la dirección x (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), k es la conductividad térmica (unidades \mathrm{W/(m\cdot K)}) y \dfrac{dT}{dx} es el gradiente de temperatura.
  • En régimen estacionario y sin generación, el flujo es constante a través de la pared, así que q_x no depende de x. Por tanto -k\,\dfrac{dT}{dx} = q'' (escribo q'' para indicar densidad de flujo, W/m²).
  • Integramos la ecuación entre x=0 (cara caliente) con temperatura T(0)=T_1 y x=L (cara fría) con temperatura T(L)=T_2. Como q'' y k son constantes, la integración es sencilla:
\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{q''}{k}\int_{0}^{L} dx.
  • Al integrar queda:
T_2 - T_1 = -\frac{q''}{k}\,L.
Despejando q'':
q'' = k\,\frac{T_1 - T_2}{L}.
Comentario sobre el signo: si T_1>T_2 entonces q''>0 y el calor va desde 1 hacia 2. Esta es la forma práctica que se usa en problemas de examen.

Passo 3

Interpretación en términos de resistencia térmica (concepto didáctico).
  • Podemos reescribir la relación anterior en forma análoga a la ley de Ohm: una caída de temperatura es igual al flujo por una resistencia. Defino la resistencia de conducción por unidad de área (resistencia superficial):
R''_{\text{cond}}=\frac{L}{k}\quad\left(\text{unidades } \mathrm{m^2\cdot K/W}\\ \text{por unidad de área invertida, o simplemente } \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W/m^2}}\right).á
  • La relación se vuelve:
q'' = \frac{T_1 - T_2}{R''_{\text{cond}}} = \frac{T_1 - T_2}{L/k}.
  • Si prefieres la resistencia total para un área A: R_{\text{cond}} = \dfrac{L}{kA} y entonces la tasa de calor total es \dot{Q} = \dfrac{T_1 - T_2}{R_{\text{cond}}}. Esto es útil cuando se pide \dot{Q} en W.

Passo 4

Pared plana superpuesta (capas en serie): deducción y explicación.
  • Imagina n capas planas en serie, cada capa i tiene espesor L_i y conductividad k_i. La misma densidad de flujo q'' atraviesa todas las capas en estado estacionario. Las caídas de temperatura se suman.
  • Resistencia de conducción por unidad de área de la capa i:
R''_{\text{cond},i}=\frac{L_i}{k_i}.
  • Resistencia total por unidad de área de todas las capas en serie:
R''_{\text{tot,cond}}=\sum_{i=1}^{n} R''_{\text{cond},i}=\sum_{i=1}^{n}\frac{L_i}{k_i}.
  • Entonces la densidad de flujo a través de la pared compuesta es, análoga a antes:
q''=\frac{T_{\text{izq}}-T_{\text{der}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{L_i}{k_i}},
donde T_{\text{izq}} y T_{\text{der}} son las temperaturas en las superficies exteriores izquierda y derecha respectivamente (si se conocen esas temperaturas de superficie).
  • Si quieres la potencia total: \dot{Q}=q''\,A=\dfrac{T_{\text{izq}}-T_{\text{der}}}{\sum L_i/(k_i)}\,A.

Passo 5

Incluir convección en ambos lados: concepto y resistencias convectivas.
  • La convección en un lado relaciona la temperatura superficial T_s con la temperatura del fluido lejano T_\infty mediante la ley de Newton de enfriamiento:
q'' = h\,(T_s - T_\infty),
donde h es el coeficiente de transferencia convectiva (unidades \mathrm{W/(m^2\cdot K)}). Igualándolo con la definición por resistencia, la resistencia convectiva por unidad de área es:
R''_{\text{conv}}=\frac{1}{h}.
  • Para una pared con convección en los dos lados (lado 1 con h_1 y fluido a T_{\infty,1}; lado 2 con h_2 y fluido a T_{\infty,2}) y con n capas en serie en el medio, las resistencias por unidad de área se suman en serie:
R''_{\text{tot}}=R''_{\text{conv},1}+\sum_{i=1}^{n}R''_{\text{cond},i}+R''_{\text{conv},2}=\frac{1}{h_1}+\sum_{i=1}^{n}\frac{L_i}{k_i}+\frac{1}{h_2}.
  • Entonces la densidad de flujo desde el fluido 1 al fluido 2 es:
q''=\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{R''_{\text{tot}}}=\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{\displaystyle\frac{1}{h_1}+\sum_{i=1}^{n}\frac{L_i}{k_i}+\frac{1}{h_2}}.
Esto es la fórmula completa que combina conducción en capas y convección en ambos lados. Muy útil en exámenes y problemas de transferencia de calor.

Passo 6

Formas alternativas útiles en la práctica (temperaturas superficiales y \dot{Q}).
  • Si necesitas las temperaturas superficiales en las caras de la pared (por ejemplo T_{s,1} en la cara caliente y T_{s,2} en la cara fría), usa el flujo ya calculado:
T_{s,1}=T_{\infty,1}-\frac{q''}{h_1},\qquad T_{s,2}=T_{\infty,2}+\frac{q''}{h_2}.
  • Si te piden la tasa de calor total \dot{Q} (en W) en lugar del flujo por unidad de área, multiplica por el área A:
\dot{Q}=q''\,A=\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{\dfrac{1}{h_1}+\sum_{i=1}^{n}\dfrac{L_i}{k_i}+\dfrac{1}{h_2}}\,A.

Passo 7

Resumen de cómo aplicar esto en una prueba (mini guía práctica y ánimo):
  • Paso a paso en el examen: 1) identificar capas y datos L_i,k_i,h_1,h_2,T_{\infty,1},T_{\infty,2}; 2) calcular R'' de cada elemento ( 1/h para convección, L/k para conducción); 3) sumar resistencias en serie; 4) calcular q''=(\Delta T)/R''_{\text{tot}}; 5) si piden \dot{Q} multiplicar por A; 6) si piden T_s usar T_{s,1}=T_{\infty,1}-q''/h_1 etc.
    Tú puedes con esto — suena mucho, pero es siempre la misma receta: resistencias en serie, sumar y dividir la diferencia de temperatura por la resistencia total. ¡Ánimo!

Resposta

q''_{\text{pared homogénea}}=\displaystyle k\,\frac{T_1-T_2}{L}.é
q''_{\text{pared compuesta}}=\displaystyle\frac{T_{\text{izq}}-T_{\text{der}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{L_i}{k_i}}.
q''_{\text{convección ambos lados + capas}}=\displaystyle\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{\displaystyle\frac{1}{h_1}+\sum_{i=1}^{n}\frac{L_i}{k_i}+\frac{1}{h_2}}\quad\text{y}\quad \dot{Q}=q''\,A=\displaystyle\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{\dfrac{1}{h_1}+\sum_{i=1}^{n}\dfrac{L_i}{k_i}+\dfrac{1}{h_2}}\,A.ó

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