1^{\text {a }} ) Uma bomba de calor operando em regime permanente recebe energia por transferência de calor da água de um poço a 10^{\circ} \mathrm{C} e rejeita energia por transferência de calor para uma residência a uma taxa de 1,2 \cdot 10^{5} \mathrm{~kJ} / \mathrm{h}. Em um período de 25 dias um medidor de energia elétrica registra que a bomba de calor recebe 2895 kWh de eletricidade. Essas são as únicas formas de transferência de energia envolvidas. Determine: (a) a quantidade de energia que a bomba de calor recebe da água do poço, em um período de 25 dias, por transferência de calor, em kJ, e (b) o coeficiente de desempenho da bomba de calor.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo (peguei todos os números do enunciado):
  • Taxa de rejeição de calor para a residência: \dot{Q}_H = 1{,}2\cdot10^{5}\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Período de operação: t = 25\\ \text{dias}.
  • Energia elétrica consumida (registrada pelo medidor) no período: E_{\text{elec}} = 2895\\ \mathrm{kWh}.
  • Afirma-se que as únicas formas de transferência de energia são: calor vindo da água do poço ( Q_L), calor rejeitado à residência ( Q_H) e trabalho/energia elétrica fornecida à bomba ( W_{\text{in}}).
O enunciado pede:
(a) a energia recebida da água do poço por transferência de calor em 25 dias, em \mathrm{kJ} (ou seja, Q_L total no período);
(b) o coeficiente de desempenho da bomba de calor (COP) no mesmo período.

Passo 2

Converter o período dado em horas (porque a taxa \dot{Q}_H está em \mathrm{kJ/h}):
t = 25\\ \text{dias} = 25\cdot24\\ \mathrm{h} = 600\\ \mathrm{h}.
Explicação rápida: cada dia tem 24 horas, então multiplica-se para obter horas — isso facilita multiplicar pela taxa em \mathrm{kJ/h}.

Passo 3

Calcular a energia total rejeitada à residência em 25 dias, multiplicando a taxa pelo tempo:
Q_H = \dot{Q}_H \cdot t
Q_H = \left(1{,}2\cdot10^{5}\\ \mathrm{kJ/h}\right)\cdot\left(600\\ \mathrm{h}\right).
Agora a conta (mostrando o raciocínio): 1{,}2\cdot10^{5}\times600 = 1{,}2\times600\cdot10^{5} = 720\cdot10^{5} = 7{,}2\cdot10^{7}. Portanto,
Q_H = 7{,}2\cdot10^{7}\\ \mathrm{kJ}.
Comentário didático: multiplicar uma taxa por um intervalo de tempo dá a quantidade total de energia transferida nesse intervalo.

Passo 4

Converter a energia elétrica registrada de \mathrm{kWh} para \mathrm{kJ}.
Fato usado: 1\\ \mathrm{kWh} = 3600\\ \mathrm{kJ} (porque 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ/s} e 1 hora tem 3600 segundos).
W_{\text{in}} = E_{\text{elec}} = 2895\\ \mathrm{kWh} = 2895\cdot3600\\ \mathrm{kJ}.
Calcular:
W_{\text{in}} = 2895\cdot3600 = 10\,422\,000\\ \mathrm{kJ}.
Explicação: multiplica-se o número de kWh por 3600 para obter kJ.

Passo 5

Escrever o balanço energético em regime permanente (1.º princípio da termodinâmica aplicado ao conjunto da bomba, assumindo fluxo de energia constante e sem variação de energia interna):
Q_H = Q_L + W_{\text{in}},
onde
  • \,Q_H é a energia total rejeitada à residência (já calculada),
  • \,Q_L é a energia total absorvida da água do poço (o que nos pedem em (a)),
  • \,W_{\text{in}} é a energia elétrica fornecida (já convertida para kJ).
Resolver para Q_L:
Q_L = Q_H - W_{\text{in}}.
Substituindo números:
Q_L = 7{,}2\cdot10^{7}\\ \mathrm{kJ} - 10\,422\,000\\ \mathrm{kJ}.
Fazendo a subtração (mostrando passo a passo em notação compatível): 7{,}2\cdot10^{7} = 72\,000\,000. Então
Q_L = 72\,000\,000\\ \mathrm{kJ} - 10\,422\,000\\ \mathrm{kJ} = 61\,578\,000\\ \mathrm{kJ}.
Ou em notação científica:
Q_L = 6{,}1578\cdot10^{7}\\ \mathrm{kJ}.
Comentário didático: a bomba não cria energia; a energia rejeitada à casa é a soma do calor extraído do poço mais a energia elétrica convertida em calor pelo compressor, por isso a equação acima.

Passo 6

Definir o coeficiente de desempenho (COP) para bomba de calor. O COP (para aquecimento) é a razão entre a energia térmica entregue ao ambiente aquecido e a energia elétrica fornecida:
\mathrm{COP} = \frac{Q_H}{W_{\text{in}}}.
Observação didática: o COP é adimensional; valores maiores que 1 indicam que a bomba entrega mais calor ao ambiente do que a energia elétrica que recebe, porque parte do calor vem da fonte fria (a água do poço).
Calcular numericamente usando os totais:
\mathrm{COP} = \frac{7{,}2\cdot10^{7}\\ \mathrm{kJ}}{10\,422\,000\\ \mathrm{kJ}}.
Fazendo a divisão:
\mathrm{COP} \approx 6{,}9085 \approx 6{,}91\\ (\text{arredondando para duas casas decimais}).
Nota: também se pode ver que \mathrm{COP}=1+\dfrac{Q_L}{W_{\text{in}}}. Substituir Q_L e W_{\text{in}} dá o mesmo resultado, como verificação.

Passo 7

Checagem rápida (sanity check) e interpretação curta: o valor de \mathrm{COP} obtido é razoável para bombas de calor que operam com fonte relativamente quente (a água a 10^\circ\mathrm{C} neste caso), indicando que a maioria do calor entregue vem da fonte e apenas uma fração vem do trabalho elétrico — isso é o comportamento esperado de uma bomba de calor eficiente. Força aí, você já tem os números e as ideias principais para a prova!

Resposta

(a) Q_L = 6{,}1578\cdot10^{7}\\ \mathrm{kJ}
(b) \mathrm{COP} \approx 6{,}9085

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