A 25^{\circ} \mathrm{C}, a pressão de vapor do ciclopentano ( \mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{10} ) é de 324 torr e a pressão de vapor do ciclohexano \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12}\right) é de 97,5 torr. Para uma solução que contêm 100 g de ciclopentano e 120 g de ciclohexano e considerando que a solução é ideal, calcule:
\Delta \mathrm{G}, \Delta \mathrm{S} e \Delta \mathrm{H} do processo de mistura.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Temperatura: \,T=25^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}.
    • Pressões de vapor (a 25^\circ\mathrm{C}):
      • ciclopentano: \,p^{*}_{\text{C}_5\text{H}_{10}}=324\\ \text{torr}.
      • ciclohexano: \,p^{*}_{\text{C}_6\text{H}_{12}}=97{,}5\\ \text{torr}.
    • Massas colocadas na mistura:
      • ciclopentano: \,m_1=100\\ \text{g}.
      • ciclohexano: \,m_2=120\\ \text{g}.
    • A solução é ideal (isso é crucial).
  • O enunciado pede:
    • \Delta G da mistura (variação de energia livre de Gibbs do processo de mistura).
    • \Delta S da mistura (variação de entropia do processo de mistura).
    • \Delta H da mistura (variação de entalpia do processo de mistura).
Observação: as pressões de vapor das substâncias puras foram fornecidas; para solução ideal a expressão padrão para potencial químico em solução ideal será usada (ver passos seguintes). Não será preciso usar numericamente as pressões de vapor para o resultado final de mistura ideal, mas elas confirmam que os componentes são voláteis puros.

Passo 2

Calcular as massas molares e o número de mols de cada componente (mostrando conta passo a passo).
  • Molaridades (massa molar aproximada, atômicos inteiros):
    • ciclopentano \mathrm{C}_5\mathrm{H}_{10}: M_1 = 5\cdot 12 + 10\cdot 1 = 60 + 10 = 70\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
    • ciclohexano \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}: M_2 = 6\cdot 12 + 12\cdot 1 = 72 + 12 = 84\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Número de mols:
    n_1=\frac{m_1}{M_1}=\frac{100}{70}=\frac{10}{7}=1{,}428571\ldots\\ \mathrm{mol},
n_2=\frac{m_2}{M_2}=\frac{120}{84}=\frac{10}{7}=1{,}428571\ldots\\ \mathrm{mol}.
(Curiosidade: os dois têm exatamente o mesmo número de mols.)
  • Número total de mols:
    n=n_1+n_2=\frac{10}{7}+\frac{10}{7}=\frac{20}{7}=2{,}857142\ldots\\ \mathrm{mol}.
  • Frações molares:
    x_1=\frac{n_1}{n}=\frac{\tfrac{10}{7}}{\tfrac{20}{7}}=\tfrac{1}{2}=0{,}5,
x_2=\frac{n_2}{n}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.

Passo 3

Apresentar a fórmula que usaremos e justificar (aula curta e prática).
  • Para uma solução ideal, a energia livre de Gibbs por mol do componente i na solução é dada por
    \mu_i(\text{sol})=\mu_i^\text{(puro, T)}+RT\ln x_i,
    onde:
    • \mu_i(\text{sol}) é o potencial químico do componente i na solução (a T e P dados);
    • \mu_i^\text{(puro, T)} é o potencial químico do componente i puro à mesma temperatura (e pressão de referência);
    • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}});
    • x_i é a fração molar do componente i.
  • Essa expressão vem de assumir idealidade (atividade a_i=x_i). Não é preciso usar numericamente as pressões de vapor para este resultado, a menos que se quisesse calcular potenciais químicos absolutos.
  • Definição da variação de energia livre de mistura:
    \Delta G_\text{mix}=\sum_i n_i\bigl[\mu_i(\text{sol})-\mu_i^\text{(puro)}\bigr].
    Substituindo a expressão da idealidade:
    \Delta G_\text{mix}=RT\sum_i n_i\ln x_i.
    Escrevendo em termos de frações molares (com n=\sum_i n_i):
    \Delta G_\text{mix}=nRT\sum_i x_i\ln x_i.
    Esta é a fórmula padrão para mistura ideal (sempre negativa para mistura de componentes diferentes, indicando mistura espontânea devido ao ganho de entropia).

Passo 4

Calcular \Delta G_\text{mix} numericamente, passo a passo.
  • Primeiro calcule o somatório \sum_i x_i\ln x_i. Como x_1=x_2=0{,}5,
    \sum_i x_i\ln x_i = 0{,}5\ln(0{,}5)+0{,}5\ln(0{,}5)=\ln(0{,}5)=-\ln 2.
  • Logo a expressão fica
    \Delta G_\text{mix}=nRT\ln(0{,}5)=-nRT\ln 2.
  • Inserindo valores: n=\dfrac{20}{7}, R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}, T=298{,}15\\ \mathrm{K}, \ln 2\approx0{,}69314718.
    • Calcule R T: RT=8{,}314\cdot 298{,}15\approx2478{,}96\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
    • Calcule RT\ln 2: RT\ln 2 \approx 2478{,}96\cdot 0{,}69314718 \approx 1718{,}28\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
    • Calcule n\,(RT\ln2): n\,RT\ln 2 = \frac{20}{7}\cdot 1718{,}28 \approx 4910{,}79\\ \mathrm{J}.
    • Portanto \Delta G_\text{mix} = -\,4910{,}79\\ \mathrm{J}\approx -4{,}91\\ \mathrm{kJ}.
(Arredondei para 3 algarismos significativos no resultado final.)

Passo 5

Calcular \Delta S_\text{mix} e relacioná-lo com \Delta G_\text{mix}.
  • Fórmula para entropia de mistura em solução ideal:
    \Delta S_\text{mix}=-nR\sum_i x_i\ln x_i.
    Como \sum_i x_i\ln x_i=\ln(0{,}5)=-\ln2,
    \Delta S_\text{mix}=-nR(-\ln2)=nR\ln2.
  • Numérico:
    \Delta S_\text{mix}= \frac{20}{7}\cdot 8{,}314\cdot 0{,}69314718 \approx 16{,}47\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
  • Verificação pela relação termodinâmica:
    \Delta G_\text{mix}=\Delta H_\text{mix}-T\Delta S_\text{mix}.
    Se \Delta H_\text{mix}=0 (caso ideal), então \Delta G_\text{mix}=-T\Delta S_\text{mix}. Com os números: -T\Delta S\approx -298{,}15\cdot 16{,}47\approx -4910{,}8\\ \mathrm{J}, que coincide com \Delta G_\text{mix} calculado (ok).

Passo 6

Determinar \Delta H_\text{mix} e explicar por que dá esse valor.
  • Para uma solução ideal a entalpia de mistura é nula: \Delta H_\text{mix}=0.Explicação curta e clara: idealidade significa que as interações entre moléculas diferentes são energeticamente idênticas às interações entre moléculas iguais; não há troca líquida de calor ao misturar, logo \Delta H_\text{mix}=0. Isso também está coerente com a verificação numérica da relação \Delta G=\Delta H-T\Delta S.

Resposta

\Delta G = -4{,}91\\ \mathrm{kJ}
\Delta S = 16{,}47\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}
\Delta H = 0\\ \mathrm{J}

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