Qual é o trabalho máximo que pode ser obtido em um processo com escoamento em regime estacionário a partir de 1 mol de nitrogênio (considerado um gás ideal) a 800 K e 50bar? Tome a temperatura e a pressão da vizinhança como 300 K e 1,0133bar.
CP, N2^g iR=3,280+0,593 times 10^-3 T+0,040 times 10^5T^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o trabalho máximo que pode ser obtido a partir de 1 mol de nitrogênio (N₂), considerado um gás ideal, nas condições iniciais de 800 K e 50 bar, utilizando um processo de escoamento em regime estacionário. A temperatura e a pressão da vizinhança são 300 K e 1,0133 bar, respectivamente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de exergia, que é a quantidade máxima de trabalho útil que pode ser extraída de um sistema quando ele interage com o ambiente. Vamos usar a expressão para a exergia de um gás ideal e calcular as diferenças de entalpia e entropia entre o estado inicial e o ambiente. Além disso, vamos utilizar a expressão fornecida para a capacidade calorífica a pressão constante $ C_P $ do nitrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da exergia para um gás ideal:
Exergia = (H - H0) - T0 (S - S0)
Aqui:
  • $ H $ é a entalpia no estado inicial,
  • $ H_0 $ é a entalpia no estado do ambiente,
  • $ S $ é a entropia no estado inicial,
  • $ S_0 $ é a entropia no estado do ambiente,
  • $ T_0 $ é a temperatura do ambiente.
Nosso objetivo é calcular essa expressão para encontrar o trabalho máximo disponível.

Passo 3

Vamos calcular a diferença de entalpia, $ H - H_0 $. A entalpia $ H $ de um gás ideal pode ser calculada integrando a capacidade calorífica a pressão constante:
H - H0
Dado que $ C_P $ depende da temperatura, temos:
H
Multiplicando ambos os lados por $ R $:
H = integralT0^T CP , dT
Agora, vamos integrar de 300 K a 800 K:
CP

Passo 4

Vamos resolver a integral:
  1. Primeiro termo:
integral300^800 3,280 , dT = 3,280 times (800 - 300) = 3,280 times 500 = 1640 , J/mol
  1. Segundo termo:
integral300^800 0,593 times 10^-3 T , dT = 0,593 times 10^-3 times T^22 |300^800
Calculando:
= 0,593 times 10^-3 times 800^2 - 300^22 = 0,593 times 10^-3 times 640000 - 900002 = 0,593 times 10^-3 times 275000 = 0,593 times 275 = 163.075 , J/mol
  1. Terceiro termo:
integral300^800 0,040 times 10^5T^2 , dT = 0,040 times 10^5 times ( -1T ) |300^800
Calculando:
= 0,040 times 10^5 times ( -1800 + 1300 ) = 4000 times ( -0,00125 + 0,003333 ) = 4000 times 0,002083 = 8.333 , J/mol
Somando os três termos:
H - H0 = 1640 + 163.075 + 8.333 = 1811.408 , J/mol
Multiplicando por $ R = 8,314 , J/mol·K $:
R = 8,314 , J/mol·K

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de entropia, $ S - S_0 $. A entropia $ S $ de um gás ideal é dada por:
S - S0
Vamos calcular cada parte:
  1. Integral de $ C_P / T $:
Já temos $ C_P $ em função de $ T $:
S
Integrando de 300 K a 800 K:
S = integral300^800 CPT , dT - R ln( PP0 )
Calculando cada termo:
  • $ 3,280 \ln\left( \frac{800}{300} \right) \approx 3,280 \times 0,9808 \approx 3,217 $
  • $ 0,593 \times 10^{-3} \times 500 = 0,593 \times 0,5 = 0,297 $
  • $ -0,040 \times 10^{5} / 2 \times ( \frac{1}{640000} - \frac{1}{90000} ) = -2000 \times (0,0000015625 - 0,0000111111) = -2000 \times (-0,0000095486) = 0,019097 $
Somando:
CP / T
Multiplicando por $ R = 8,314 , J/mol·K $:
CP
  1. Termo $ R \ln\left( \frac{P}{P_0} \right) $:
Calculando:
T
Portanto:
CPT = R ( 3,280T + 0,593 times 10^-3 + 0,040 times 10^5T^3 )

Passo 6

Agora, vamos calcular a exergia usando a fórmula:
Exergia = (H - H0) - T0 (S - S0)
Substituindo os valores que encontramos:
Exergia = 15057 , J - 300 , K times (-2,98 , J/mol·K) Exergia = 15057 + 894 approx 15951 , J

Resposta

O trabalho máximo que pode ser obtido nesse processo é de aproximadamente 15.951 J.

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