Metano gasoso, a 550 K e 5 b a r, sofre uma expansão reversível e adiabática até 1 b a r. Considerando o metano nessas condições como um gás ideal, determine sua temperatura final. Considere que CP=46,062 J /(molK).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve termodinâmica, especificamente uma expansão reversível e adiabática do metano gasoso. A gente precisa encontrar a temperatura final após essa expansão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gases ideais e as relações entre pressão, temperatura e capacidade calorífica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma expansão adiabática e reversível. Uma expansão adiabática significa que não há troca de calor com o ambiente ( Q = 0). Já a reversível indica que o processo ocorre de maneira ideal, sem dissipação de energia. Para gases ideais nessa condição, usamos a relação:
T2 = T1 ( P2P1 )^gamma - 1gamma
Aqui, T1 e P1 são a temperatura e pressão iniciais, T2 e P2 são os finais, e gamma é o índice adiabático.

Passo 3

Vamos calcular o índice adiabático ( gamma). Sabemos que:
gamma = CPCV
Onde CP é a capacidade calorífica a pressão constante e CV a capacidade calorífica a volume constante. Mas a gente tem CP e precisa achar CV. A relação entre elas é:
CP = CV + R
Onde R é a constante dos gases ideais, aproximadamente 8.314 , J/(mol cdot K). Então:
CV = CP - R = 46,062 , J/(mol cdot K) - 8,314 , J/(mol cdot K) = 37,748 , J/(mol cdot K)
Agora, calculamos gamma:
gamma = 46,06237,748 approx 1,220

Passo 4

Com gamma calculado, vamos usar a relação adiabática para achar a temperatura final T2. Sabemos que:
P1 = 5 , bar
P2 = 1 , bar
T1 = 550 , K
Substituindo na fórmula:
T2 = 550 , K times ( 15 )^1,220 - 11,220
Primeiro, calculamos o expoente:
1,220 - 11,220 = 0,2201,220 approx 0,180
Então:
T2 = 550 times ( 15 )^0,180

Passo 5

Agora, vamos calcular ( 15 )^0,180. Usando uma calculadora:
( 15 )^0,180 approx 0,724
Portanto:
T2 = 550 times 0,724 approx 398,2 , K

Resposta

A temperatura final do metano após a expansão é aproximadamente 398,2 K.

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