Metano gasoso, a 550 K e
, sofre uma expansão reversível e adiabática até
. Considerando o metano nessas condições como um gás ideal, determine sua temperatura final. Considere que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve termodinâmica, especificamente uma expansão reversível e adiabática do metano gasoso. A gente precisa encontrar a temperatura final após essa expansão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gases ideais e as relações entre pressão, temperatura e capacidade calorífica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma expansão adiabática e reversível. Uma expansão adiabática significa que não há troca de calor com o ambiente (
). Já a reversível indica que o processo ocorre de maneira ideal, sem dissipação de energia. Para gases ideais nessa condição, usamos a relação:
Aqui,
e
são a temperatura e pressão iniciais,
e
são os finais, e
é o índice adiabático.
Passo 3
Vamos calcular o índice adiabático (
). Sabemos que:
Onde
é a capacidade calorífica a pressão constante e
a capacidade calorífica a volume constante. Mas a gente tem
e precisa achar
. A relação entre elas é:
Onde
é a constante dos gases ideais, aproximadamente
. Então:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Com
calculado, vamos usar a relação adiabática para achar a temperatura final
. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Primeiro, calculamos o expoente:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Usando uma calculadora:
Portanto:
Resposta
A temperatura final do metano após a expansão é aproximadamente 398,2 K.