Se a transformada de Fourier de
for
, qual será a transformada de Fourier de
, sendo a e b constantes?
Passo 1
O enunciado dá que a transformada de Fourier de
é
e pede a transformada de Fourier de
, onde
e
são constantes. Informações relevantes dadas:
-
tem transformada . -
é obtida por multiplicar por (o conjugado complexo de ) e por deslocar no tempo em unidades (isto é, ). - A tarefa: encontrar explicitamente a transformada de Fourier de
.
Passo 2
Vou usar a definição de transformada de Fourier que é a mais comum em sinais e sistemas. Definição:
Explicando cada símbolo:
-
é a função do tempo. -
é a frequência angular (variável da transformada). -
é a unidade imaginária ( ). - A integral soma as contribuições de
multiplicadas por osciladores complexos .
Essa é a fórmula que vou aplicar para calcular.
Passo 3
Primeira propriedade que vamos usar: linearidade da transformada. Para qualquer constante complexa
e função
,
No nosso caso,
e
. Portanto
Expliquei isso porque multiplicar a função por uma constante sai da integral como fator.
Passo 4
Agora vamos calcular
. Escrevemos a integral pela definição:
Fazemos a mudança de variável para “desfazer” o deslocamento: defina
. Então
e
. Quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Substituindo:
Agora separamos o fator que depende apenas de
:
A integral restante é exatamente a transformada
. Assim obtemos a propriedade de deslocamento no tempo:
Passo 5
Voltando ao resultado do Passo 3 (linearidade) e combinando com o Passo 4 (deslocamento), temos:
Explicação intuitiva rápida: o deslocamento no tempo por
gera um fator de fase
no domínio da frequência; multiplicar por
apenas escala a transformada por esse número complexo.
Passo 6
Um pequeno exemplo para fixar: se
(delta de Dirac), então
. Então
tem transformada
, o que coincide com a fórmula geral. Isso ajuda a visualizar: impulsos deslocados viram exponenciais complexas na frequência, escaladas pelo
.