Se a transformada de Fourier de f_{1}(t) for F_{1}(w), qual será a transformada de Fourier de f_{3}(t)=a^{*} f_{1}(t-b), sendo a e b constantes?

Passo 1

O enunciado dá que a transformada de Fourier de f_{1}(t) é F_{1}(\omega) e pede a transformada de Fourier de f_{3}(t)=a^{*} f_{1}(t-b), onde a e b são constantes. Informações relevantes dadas:
  • f_{1}(t) tem transformada \,F_{1}(\omega).
  • f_{3}(t) é obtida por multiplicar f_{1} por a^{*} (o conjugado complexo de a) e por deslocar f_{1} no tempo em b unidades (isto é, t\mapsto t-b).
  • A tarefa: encontrar explicitamente a transformada de Fourier de f_{3}(t).

Passo 2

Vou usar a definição de transformada de Fourier que é a mais comum em sinais e sistemas. Definição:
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • f(t) é a função do tempo.
  • \omega é a frequência angular (variável da transformada).
  • i é a unidade imaginária ( i^2=-1).
  • A integral soma as contribuições de f(t) multiplicadas por osciladores complexos e^{-i\omega t}.
    Essa é a fórmula que vou aplicar para calcular \mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega).

Passo 3

Primeira propriedade que vamos usar: linearidade da transformada. Para qualquer constante complexa c e função g(t),
\mathcal{F}\{c\,g(t)\}(\omega)=c\;\mathcal{F}\{g(t)\}(\omega).
No nosso caso, c=a^{*} e g(t)=f_{1}(t-b). Portanto
\mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega)=\mathcal{F}\{a^{*} f_{1}(t-b)\}(\omega)=a^{*}\,\mathcal{F}\{f_{1}(t-b)\}(\omega).
Expliquei isso porque multiplicar a função por uma constante sai da integral como fator.

Passo 4

Agora vamos calcular \mathcal{F}\{f_{1}(t-b)\}(\omega). Escrevemos a integral pela definição:
\mathcal{F}\{f_{1}(t-b)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t-b)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Fazemos a mudança de variável para “desfazer” o deslocamento: defina u=t-b. Então t=u+b e dt=du. Quando t vai de -\infty a +\infty, u também vai de -\infty a +\infty. Substituindo:
\mathcal{F}\{f_{1}(t-b)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(u)\,e^{-i\omega (u+b)}\,du.
Agora separamos o fator que depende apenas de b:
\mathcal{F}\{f_{1}(t-b)\}(\omega)=e^{-i\omega b}\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(u)\,e^{-i\omega u}\,du.
A integral restante é exatamente a transformada \mathcal{F}\{f_{1}(t)\}(\omega)=F_{1}(\omega). Assim obtemos a propriedade de deslocamento no tempo:
\mathcal{F}\{f_{1}(t-b)\}(\omega)=e^{-i\omega b}\,F_{1}(\omega).

Passo 5

Voltando ao resultado do Passo 3 (linearidade) e combinando com o Passo 4 (deslocamento), temos:
\mathcal{F}\{f_{3}(t)\}(\omega)=a^{*}\,\mathcal{F}\{f_{1}(t-b)\}(\omega)=a^{*}\,e^{-i\omega b}\,F_{1}(\omega).
Explicação intuitiva rápida: o deslocamento no tempo por b gera um fator de fase e^{-i\omega b} no domínio da frequência; multiplicar por a^{*} apenas escala a transformada por esse número complexo.

Passo 6

Um pequeno exemplo para fixar: se f_{1}(t)=\delta(t) (delta de Dirac), então F_{1}(\omega)=1. Então f_{3}(t)=a^{*}\delta(t-b) tem transformada a^{*}e^{-i\omega b}, o que coincide com a fórmula geral. Isso ajuda a visualizar: impulsos deslocados viram exponenciais complexas na frequência, escaladas pelo a^{*}.

Resposta

F_{3}(\omega)=a^{*}\,e^{-i\omega b}\,F_{1}(\omega)