Um transformador de 20kVA, 1.200/120V, que está permanentemente ligado, é carregado com cargas de fator de potência unitário durante um período de 24 horas, como se segue:
  • 5 horas à plena carga,
  • 5 horas à meia carga,
  • 5 horas a um quarto de carga.
O rendimento máximo ocorre à plena carga e é 97 %.
Calcule o rendimento diário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um transformador de 20kVA com tensão de 1.200V/120V que está sempre ligado e recebe diferentes cargas ao longo de 24 horas. Nosso objetivo é calcular o rendimento diário desse transformador. Para isso, vamos precisar entender como o rendimento de um transformador depende da carga e usar algumas fórmulas de eficiência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é rendimento (ou eficiência) de um transformador. O rendimento é a relação entre a potência de saída (o que o transformador entrega) e a potência de entrada (o que ele consome). A fórmula é:
eta = PsaídaPentrada í
Onde é o rendimento, í é a potência de saída e é a potência que entra no transformador.

Passo 3

Sabemos que o rendimento máximo ocorre à plena carga e é de 97%, ou seja, 0,97 = 20Pentrada, p<=na carga á. À plena carga, a potência de saída é igual à capacidade do transformador, que é 20kVA. Então:
Pin, max = 200,97 approx 20,62 kVA
Vamos chamar de . Resolvendo para :

Passo 4

O transformador tem perdas que não dependem da carga (perdas no núcleo) e perdas que dependem da carga (perdas no cobre). Vamos chamar as perdas no núcleo de Pentrada, max = Psaída, max + P0 + Pcu e as perdas no cobre de 20,62 = 20 + P0 + Pcu .
Sabemos que, à plena carga:
P0 + Pcu = 0,62 kVA í
Substituindo os valores:
Portanto:

Passo 5

Para seguir em frente, precisamos assumir que as perdas no cobre são proporcionais ao quadrado da carga. Isso é comum em transformadores porque as perdas no cobre dependem da corrente, que por sua vez depende da carga. Então, podemos escrever:
Pcu = Pcu, max times (CCmax)^2
Onde é a carga atual e é a carga máxima (20kVA). Como já temos , podemos definir e .

Passo 6

Agora, vamos calcular as perdas e a eficiência para cada período de carga:
  1. 5 horas à plena carga (20kVA):
    Pcu = 0,62 - P0
    Pentrada = 20 + P0 + Pcu = 20 + 0,62 = 20,62 kVA
  2. 5 horas à meia carga (10kVA):
    Pcu = (0,62 - P0) times (1020)^2 = (0,62 - P0) times 0,25
    Pentrada = 10 + P0 + Pcu
  3. 5 horas a um quarto de carga (5kVA):
    Pcu = (0,62 - P0) times (520)^2 = (0,62 - P0) times 0,0625
    Pentrada = 5 + P0 + Pcu

Passo 7

Para simplificar, vamos assumir que as perdas no núcleo ( Pcu, max = 0,62 kVA ) são pequenas comparadas às perdas no cobre e, portanto, podemos aproximar Pcu = 0,62 times (2020)^2 = 0,62 kVA . Assim:
Pentrada = 20 + 0,62 = 20,62 kVA
Agora recalculamos as perdas para cada carga:
  1. Plena carga (20kVA):
    eta = 2020,62 approx 0,97 ou 97%
    Pcu = 0,62 times (1020)^2 = 0,62 times 0,25 = 0,155 kVA
    Pentrada = 10 + 0,155 = 10,155 kVA
  2. Meia carga (10kVA):
    eta = 1010,155 approx 0,9849 ou 98,49%
    Pcu = 0,62 times (520)^2 = 0,62 times 0,0625 = 0,03875 kVA
    Pentrada = 5 + 0,03875 = 5,03875 kVA
  3. Um quarto de carga (5kVA):
    eta = 55,03875 approx 0,9923 ou 99,23%

Passo 8

Agora, vamos calcular o rendimento diário considerando o tempo que o transformador fica em cada carga:
  1. 5 horas à plena carga:
    eta = 97%
    Energia útil = 20 kVA times 5 h = 100 kWh ú
    Energia total = 20,62 kVA times 5 h = 103,1 kWh
  2. 5 horas à meia carga:
    eta = 98,49%
    Energia útil = 10 kVA times 5 h = 50 kWh ú
    Energia total = 10,155 kVA times 5 h = 50,775 kWh
  3. 5 horas a um quarto de carga:
    eta = 99,23%
    Energia útil = 5 kVA times 5 h = 25 kWh ú
    Energia total = 5,03875 kVA times 5 h = 25,19375 kWh

Passo 9

Somando todas as energias:
Energia útil total = 100 + 50 + 25 = 175 kWh ú
Energia total consumida = 103,1 + 50,775 + 25,19375 approx 178,06875 kWh
Agora, o rendimento diário é:
etadiário = Energia útil totalEnergia total consumida = 175178,06875 approx 0,982 ou 98,2% áú

Resposta

O rendimento diário do transformador é aproximadamente 98,2%.

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