Os Três ciclos dados a seguir operam um gás perfeito, como todos os processos quaseestáticos e as capacidades calorificas constantes. Os diagramas PV são construídos com a sequência dos processos especificados para cada ciclo. Para cada ciclo, desenhe o diagrama PV, indique as entrada e saídas de calor e ache eficiência da máquina térmica operando com estes ciclos.
1-2 isocórico; 2-3 isotérmico; 3-4 Adiabático; 4-1 isotérmico. Expresse a eficiência em função de gamma, thetac, thetaH, e das razões V4 / V1 e V3 / V1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um ciclo termodinâmico operando com um gás perfeito envolvendo quatro processos diferentes: isocórico, isotérmico, adiabático e novamente isotérmico. Nosso objetivo é desenhar o diagrama PV para esse ciclo, identificar onde o calor está entrando e saindo do sistema, e calcular a eficiência dessa máquina térmica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre os diferentes processos termodinâmicos e como eles se relacionam no diagrama de pressão vs. volume (PV).

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada processo:
  1. Processo isocórico (1-2): O volume permanece constante enquanto a pressão e a temperatura mudam. No diagrama PV, isso é representado por uma linha vertical.
  2. Processo isotérmico (2-3): A temperatura permanece constante. Para um gás perfeito, isso significa que a pressão varia inversamente com o volume, formando uma hipérbole no diagrama PV.
  3. Processo adiabático (3-4): Não há transferência de calor. A relação entre pressão e volume segue $ PV^\gamma = $ constante, onde $ \gamma $ é a razão das capacidades caloríficas.
  4. Processo isotérmico (4-1): Novamente, a temperatura permanece constante, formando outra hipérbole no diagrama PV.

Passo 3

Agora, vamos desenhar o diagrama PV com base nesses processos. Imagine um gráfico com pressão no eixo Y e volume no eixo X:
  • 1-2: Linha vertical de 1 para 2.
  • 2-3: Curva hiperbólica de 2 para 3.
  • 3-4: Curva adiabática de 3 para 4.
  • 4-1: Outra curva hiperbólica de 4 para 1.
Esse ciclo forma uma espécie de losango no diagrama PV, onde cada lado representa um dos processos mencionados.

Passo 4

Vamos identificar as entradas e saídas de calor em cada processo:
  • 1-2 Isocórico: Como o volume é constante, qualquer variação de energia interna resulta em troca de calor. Se a temperatura aumenta, há entrada de calor.
  • 2-3 Isotérmico: A temperatura constante significa que todo o calor adicionado ao sistema é usado para expandir o gás.
  • 3-4 Adiabático: Não há troca de calor.
  • 4-1 Isotérmico: A temperatura constante aqui indica que o sistema está liberando calor enquanto o gás é comprimido.

Passo 5

Para calcular a eficiência ($ \eta $) da máquina térmica, usamos a fórmula:
eta
Onde $ Q_{H} $ é o calor absorvido durante o processo de aquecimento e $ Q_{C} $ é o calor liberado durante o resfriamento.

Passo 6

Vamos expressar $ Q_{H} $ e $ Q_{C} $ em termos das variáveis fornecidas:
  • $ Q_{H} $ ocorre no processo 1-2 (isocórico) e 2-3 (isotérmico).
  • $ Q_{C} $ ocorre no processo 4-1 (isotérmico).
Usando as relações de calor para processos isocóricos e isotérmicos:
QH ó
QC é
QH é
Onde $ \gamma = \frac{C_P}{C_V} $ e $ \theta_H $, $ \theta_C $ são as temperaturas altas e baixas, respectivamente.

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula da eficiência:
eta = 1 - CV (thetaH - thetaC) + nRTC ln(V4V1)CV (thetaH - thetaC) + nRTH ln(V3V1)
Simplificando e rearranjando, considerando que $ \gamma = \frac{C_P}{C_V} $ e $ C_P - C_V = R $:
gamma = CPCV

Resposta

A eficiência da máquina térmica é dada por:
eta = 1 - gamma thetaCgamma thetaH cdot V4V1 cdot V3V1

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