Os Três ciclos dados a seguir operam um gás perfeito, como todos os processos quaseestáticos e as capacidades calorificas constantes. Os diagramas PV são construídos com a sequência dos processos especificados para cada ciclo. Para cada ciclo, desenhe o diagrama PV, indique as entrada e saídas de calor e ache eficiência da máquina térmica operando com estes ciclos.
1-2 isocórico; 2-3 isotérmico; 3-4 Adiabático; 4-1 isotérmico. Expresse a eficiência em função de
, e das razões
e
.
1-2 isocórico; 2-3 isotérmico; 3-4 Adiabático; 4-1 isotérmico. Expresse a eficiência em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um ciclo termodinâmico operando com um gás perfeito envolvendo quatro processos diferentes: isocórico, isotérmico, adiabático e novamente isotérmico. Nosso objetivo é desenhar o diagrama PV para esse ciclo, identificar onde o calor está entrando e saindo do sistema, e calcular a eficiência dessa máquina térmica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre os diferentes processos termodinâmicos e como eles se relacionam no diagrama de pressão vs. volume (PV).
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada processo:
- Processo isocórico (1-2): O volume permanece constante enquanto a pressão e a temperatura mudam. No diagrama PV, isso é representado por uma linha vertical.
- Processo isotérmico (2-3): A temperatura permanece constante. Para um gás perfeito, isso significa que a pressão varia inversamente com o volume, formando uma hipérbole no diagrama PV.
- Processo adiabático (3-4): Não há transferência de calor. A relação entre pressão e volume segue $ PV^\gamma = $ constante, onde $ \gamma $ é a razão das capacidades caloríficas.
- Processo isotérmico (4-1): Novamente, a temperatura permanece constante, formando outra hipérbole no diagrama PV.
Passo 3
Agora, vamos desenhar o diagrama PV com base nesses processos. Imagine um gráfico com pressão no eixo Y e volume no eixo X:
- 1-2: Linha vertical de 1 para 2.
- 2-3: Curva hiperbólica de 2 para 3.
- 3-4: Curva adiabática de 3 para 4.
- 4-1: Outra curva hiperbólica de 4 para 1.
Esse ciclo forma uma espécie de losango no diagrama PV, onde cada lado representa um dos processos mencionados.
Passo 4
Vamos identificar as entradas e saídas de calor em cada processo:
- 1-2 Isocórico: Como o volume é constante, qualquer variação de energia interna resulta em troca de calor. Se a temperatura aumenta, há entrada de calor.
- 2-3 Isotérmico: A temperatura constante significa que todo o calor adicionado ao sistema é usado para expandir o gás.
- 3-4 Adiabático: Não há troca de calor.
- 4-1 Isotérmico: A temperatura constante aqui indica que o sistema está liberando calor enquanto o gás é comprimido.
Passo 5
Para calcular a eficiência ($ \eta $) da máquina térmica, usamos a fórmula:
Onde $ Q_{H} $ é o calor absorvido durante o processo de aquecimento e $ Q_{C} $ é o calor liberado durante o resfriamento.
Passo 6
Vamos expressar $ Q_{H} $ e $ Q_{C} $ em termos das variáveis fornecidas:
- $ Q_{H} $ ocorre no processo 1-2 (isocórico) e 2-3 (isotérmico).
- $ Q_{C} $ ocorre no processo 4-1 (isotérmico).
Usando as relações de calor para processos isocóricos e isotérmicos:
Onde $ \gamma = \frac{C_P}{C_V} $ e $ \theta_H $, $ \theta_C $ são as temperaturas altas e baixas, respectivamente.
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na fórmula da eficiência:
Simplificando e rearranjando, considerando que $ \gamma = \frac{C_P}{C_V} $ e $ C_P - C_V = R $:
Resposta
A eficiência da máquina térmica é dada por: