Determine se a equações Pfaffiana
tem uma solução; e se isto acontece, ache a família de superfícies que satisfaz a Pfaffiana.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
A gente tem uma equação Pfaffiana dada por:
O objetivo é verificar se essa equação tem solução e, se tiver, encontrar a família de superfícies que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação Pfaffiana e como encontrar integrais dessas equações, ou seja, superfícies cuja diferencial corresponde à equação dada.
Passo 2
Entendendo a Equação Pfaffiana
Uma equação Pfaffiana é uma equação diferencial do tipo:
Para que essa equação tenha uma solução, ou seja, seja integrável, precisamos que a condição de integrabilidade seja satisfeita. Essa condição é dada pela igualdade das derivadas parciais cruzadas, ou seja:
Se todas essas igualdades forem verdadeiras, a equação é integrável e podemos encontrar uma função $ F(x, y, z) = C $ que representa a família de superfícies.
Passo 3
Identificando M, N e P
Vamos identificar as funções $ M $, $ N $ e $ P $ na nossa equação:
- $ M = 2a^{2} x $
- $ N = b^{2} z $
- $ P = b^{2} y + 3c^{2} z^{2} $
Passo 4
Calculando as Derivadas Parciais Necessárias
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar a condição de integrabilidade.
- Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
- Calculando $ \frac{\partial M}{\partial z} $ e $ \frac{\partial P}{\partial x} $:
- Calculando $ \frac{\partial N}{\partial z} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Passo 5
Verificando a Condição de Integrabilidade
Comparando as derivadas parciais calculadas:
- $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $ ➔ $ 0 = 0 $ ✔️
- $ \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x} $ ➔ $ 0 = 0 $ ✔️
- $ \frac{\partial N}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial y} $ ➔ $ b^{2} = b^{2} $ ✔️
Todas as condições são satisfeitas, então a equação Pfaffiana é integrável e tem solução.
Passo 6
Encontrando a Família de Superfícies
Para encontrar a família de superfícies, precisamos integrar a equação $ M, dx + N, dy + P, dz = 0 $.
Vamos reescrever a equação:
Podemos tentar encontrar uma função $ F(x, y, z) $ tal que:
Integrando $ \frac{\partial F}{\partial x} = 2a^{2} x $ em relação a $ x $:
Agora, derivamos $ F $ em relação a $ y $:
Integrando $ \frac{\partial g}{\partial y} = b^{2} z $ em relação a $ y $:
Agora, nosso $ F $ fica:
Derivando $ F $ em relação a $ z $:
Igualando:
Integrando $ h’(z) $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Então, a função $ F $ completa é:
Resposta
Sim, a equação Pfaffiana possui solução. A família de superfícies que satisfaz a equação é dada por:
onde $ C $ é uma constante real.