Determine se a equações Pfaffiana [2 a^2 x d x+b^2 z d y+(b^2 y+3 c^2 z^2) d z=0] tem uma solução; e se isto acontece, ache a família de superfícies que satisfaz a Pfaffiana.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
A gente tem uma equação Pfaffiana dada por:
2 a^2 x, dx + b^2 z, dy + (b^2 y + 3 c^2 z^2) dz = 0
O objetivo é verificar se essa equação tem solução e, se tiver, encontrar a família de superfícies que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação Pfaffiana e como encontrar integrais dessas equações, ou seja, superfícies cuja diferencial corresponde à equação dada.

Passo 2

Entendendo a Equação Pfaffiana
Uma equação Pfaffiana é uma equação diferencial do tipo:
M, dx + N, dy + P, dz = 0
Para que essa equação tenha uma solução, ou seja, seja integrável, precisamos que a condição de integrabilidade seja satisfeita. Essa condição é dada pela igualdade das derivadas parciais cruzadas, ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial x
partial Mpartial z = partial Ppartial x
partial Npartial z = partial Ppartial y
Se todas essas igualdades forem verdadeiras, a equação é integrável e podemos encontrar uma função $ F(x, y, z) = C $ que representa a família de superfícies.

Passo 3

Identificando M, N e P
Vamos identificar as funções $ M $, $ N $ e $ P $ na nossa equação:
  • $ M = 2a^{2} x $
  • $ N = b^{2} z $
  • $ P = b^{2} y + 3c^{2} z^{2} $

Passo 4

Calculando as Derivadas Parciais Necessárias
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar a condição de integrabilidade.
  1. Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Mpartial y
partial Npartial x
  1. Calculando $ \frac{\partial M}{\partial z} $ e $ \frac{\partial P}{\partial x} $:
partial Mpartial y = partialpartial y(2a^2 x) = 0
partial Npartial x = partialpartial x(b^2 z) = 0
  1. Calculando $ \frac{\partial N}{\partial z} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Mpartial z
partial Ppartial x

Passo 5

Verificando a Condição de Integrabilidade
Comparando as derivadas parciais calculadas:
  1. $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $ ➔ $ 0 = 0 $ ✔️
  2. $ \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x} $ ➔ $ 0 = 0 $ ✔️
  3. $ \frac{\partial N}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial y} $ ➔ $ b^{2} = b^{2} $ ✔️
Todas as condições são satisfeitas, então a equação Pfaffiana é integrável e tem solução.

Passo 6

Encontrando a Família de Superfícies
Para encontrar a família de superfícies, precisamos integrar a equação $ M, dx + N, dy + P, dz = 0 $.
Vamos reescrever a equação:
M, dx + N, dy + P, dz = 0
Podemos tentar encontrar uma função $ F(x, y, z) $ tal que:
2a^2 x, dx + b^2 z, dy + (b^2 y + 3c^2 z^2) dz = 0
F(x, y, z)
partial Fpartial x = 2a^2 x
Integrando $ \frac{\partial F}{\partial x} = 2a^{2} x $ em relação a $ x $:
partial Fpartial y = b^2 z
Agora, derivamos $ F $ em relação a $ y $:
partial Fpartial z = b^2 y + 3c^2 z^2
Integrando $ \frac{\partial g}{\partial y} = b^{2} z $ em relação a $ y $:
partial Fpartial x = 2a^2 x
Agora, nosso $ F $ fica:
x
Derivando $ F $ em relação a $ z $:
F(x, y, z) = a^2 x^2 + g(y, z)
Igualando:
F
Integrando $ h’(z) $:
y
Onde $ C $ é a constante de integração. Então, a função $ F $ completa é:
partial Fpartial y = partialpartial y(a^2 x^2 + g(y, z)) = partial gpartial y = b^2 z

Resposta

Sim, a equação Pfaffiana possui solução. A família de superfícies que satisfaz a equação é dada por:
a^2 x^2 + b^2 y z + c^2 z^3 = C
onde $ C $ é uma constante real.

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