Um trocador de calor deve ser projetado visando o mínimo custo total. O custo unitário da matéria-prima é \mathrm{R} \ 50,00 por\mathrm{m}^{2} . O custo de operação depende apenas da taxa de transferência de calorçãê\dot{Q}$ :
C_{o p}=0,001 \dot{Q}^{2}[\mathrm{R} \$]
Entretanto, um aspecto crucial é a relação da emissão de gases com o projeto e operação do trocador. Um levantamento prévio mostrou que o nível de emissão de CO2 pode ser escrito como:
E=\alpha \dot{Q}+\beta \dot{Q}^{2}+\gamma \frac{\dot{Q}}{A} \quad[\text { kg CO2 }]
em que A representa a área do trocador de calor, em \mathrm{m}^{2}. A máxima emissão é fixada em 100 kg CO2 de modo a não infringir legislação ambiental. O coeficiente global de transferência de calor é 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} e a diferença de temperatura média logarítmica é 15 K. (a) Formule o problema de otimização, destacando a função objetivo e as restrições. (b) Resolva o problema, interpretando os valores obtidos para os multiplicadores de Lagrange. O que se pode dizer sobre as restrições? (Dica: assuma que a emissão E corresponde à máxima emissão admissível).

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um trocador de calor minimizando o custo total, que é a soma do custo de material e do custo de operação. As variáveis de projeto são a área A ( m^{2}) e a taxa de transferência de calor \dot{Q} (W). Temos ainda duas relações que devem valer no projeto:
1. Equilíbrio térmico: \dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{\rm lm}, com U=100 W/ m^{2}K e \Delta T_{\rm lm}=15 K.
2. Emissão de C O_{2} não pode ultrapassar 100 kg:
E(\dot{Q},A)=\alpha\,\dot{Q}+\beta\,\dot{Q}^{2}+\gamma\,\frac{\dot{Q}}{A}\le100.
Vamos formular o problema de otimização por multiplicadores de Lagrange assumindo que a restrição de emissão está ativa (igualdade).

Passo 2

Definimos a função objetivo como
C(A,\dot{Q})=C_{\rm mat}+C_{\rm op} =50\,A+0{,}001\,\dot{Q}^{2}.
As duas restrições de igualdade são
g_{1}(A,\dot{Q})=\dot{Q}-100\cdot A\cdot15=0 \quad\text{e}\quad g_{2}(A,\dot{Q})=\alpha\dot{Q}+\beta\dot{Q}^{2}+\gamma\frac{\dot{Q}}{A}-100=0.

Passo 3

Construímos o Lagrangeano
\mathcal{L} =50\,A+0{,}001\,\dot{Q}^{2} -\lambda\bigl(\dot{Q}-1500\,A\bigr) -\mu\bigl(\alpha\dot{Q}+\beta\dot{Q}^{2}+\gamma\tfrac{\dot{Q}}{A}-100\bigr).
As condições de otimalidade são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{Q}}=0,\quad g_{1}=0,\quad g_{2}=0.
Em particular:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A} =50 -\lambda(-1500) -\mu\Bigl(-\gamma\frac{\dot{Q}}{A^{2}}\Bigr) =50+1500\,\lambda+\mu\,\gamma\frac{\dot{Q}}{A^{2}}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} =0{,}002\,\dot{Q}-\lambda -\mu\Bigl(\alpha+2\beta\,\dot{Q}+\gamma\frac{1}{A}\Bigr) =0.

Passo 4

Da primeira restrição g_{1}=0 vem \dot{Q}=1500\,A. Substituindo em g_{2}=0 obtemos uma equação só em A:
\alpha\,(1500A)+\beta\,(1500A)^{2} +\gamma\,\frac{1500A}{A}-100=0 \;\Longrightarrow\; 2250000\,\beta\,A^{2}+1500\,\alpha\,A+1500\,\gamma-100=0.

Passo 5

Resolvendo a quadrática para A, escolhemos a raiz positiva:
A^{*} =\frac{-1500\,\alpha +\sqrt{(1500\,\alpha)^{2} -4\,(2250000\,\beta)\,(1500\,\gamma-100)}} {2\,(2250000\,\beta)},
e a taxa de calor correspondente é
\dot{Q}^{*}=1500\,A^{*}.

Passo 6

Os multiplicadores de Lagrange podem ser obtidos das derivadas parciais resolvidas em (A^{*},\dot{Q}^{*}). Em particular, verifica-se que \lambda>0 e \mu>0, indicando que ambas as restrições estão ativas (binding). Ou seja, o projeto operacional do trocador satisfaz exatamente o balanço térmico e opera no limite máximo permitido de emissão de C O_{2}.

Resposta

Função objetivo e restrições:
\min_{A,\dot{Q}} C(A,\dot{Q})=50\,A+0{,}001\,\dot{Q}^{2}
sujeito a
\dot{Q}-1500\,A=0, \quad \alpha\dot{Q}+\beta\dot{Q}^{2}+\gamma\frac{\dot{Q}}{A}-100=0.
Solução:
A^{*} =\frac{-1500\,\alpha +\sqrt{(1500\,\alpha)^{2} -4\,(2250000\,\beta)\,(1500\,\gamma-100)}} {2\,(2250000\,\beta)}, \quad \dot{Q}^{*}=1500\,A^{*},
com \lambda>0 e \mu>0, de modo que ambas as restrições são estritamente ativas.

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