Um trocador de calor deve ser projetado visando o mínimo custo total. O custo unitário da matéria-prima é
50,00
\mathrm{m}^{2}
\dot{Q}$ :
Entretanto, um aspecto crucial é a relação da emissão de gases com o projeto e operação do trocador. Um levantamento prévio mostrou que o nível de emissão de CO2 pode ser escrito como:
em que A representa a área do trocador de calor, em
. A máxima emissão é fixada em 100 kg CO2 de modo a não infringir legislação ambiental. O coeficiente global de transferência de calor é
e a diferença de temperatura média logarítmica é 15 K. (a) Formule o problema de otimização, destacando a função objetivo e as restrições. (b) Resolva o problema, interpretando os valores obtidos para os multiplicadores de Lagrange. O que se pode dizer sobre as restrições? (Dica: assuma que a emissão E corresponde à máxima emissão admissível).
Passo 1
O enunciado pede o projeto de um trocador de calor minimizando o custo total, que é a soma do custo de material e do custo de operação. As variáveis de projeto são a área
(
) e a taxa de transferência de calor
(W). Temos ainda duas relações que devem valer no projeto:
. Equilíbrio térmico:
, com
W/
K e
K.
. Emissão de C
não pode ultrapassar
kg:
Vamos formular o problema de otimização por multiplicadores de Lagrange assumindo que a restrição de emissão está ativa (igualdade).
Passo 2
Definimos a função objetivo como
As duas restrições de igualdade são
Passo 3
Construímos o Lagrangeano
As condições de otimalidade são
Em particular:
Passo 4
Da primeira restrição
vem
. Substituindo em
obtemos uma equação só em
:
Passo 5
Resolvendo a quadrática para
, escolhemos a raiz positiva:
e a taxa de calor correspondente é
Passo 6
Os multiplicadores de Lagrange podem ser obtidos das derivadas parciais resolvidas em
. Em particular, verifica-se que
e
, indicando que ambas as restrições estão ativas (binding). Ou seja, o projeto operacional do trocador satisfaz exatamente o balanço térmico e opera no limite máximo permitido de emissão de C
.
Resposta
Função objetivo e restrições:
sujeito a
Solução:
com
e
, de modo que ambas as restrições são estritamente ativas.