A parede de um forno é composta por 3^{\prime \prime} de tijolos refratários ( k=1,4 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}} ) e por 5 camadas de um material vendido em placas de 1 \mathrm{~m} \times 1 \mathrm{~m} \times 0,02 \mathrm{~m} (largura × altura × espessura), o qual possui k=0,15 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}}. Sabendo-se que foram usadas 50 placas do referido material para cobrir toda a face da parede e que a temperatura na face interna do refratário em contato com a carga do forno é de 1000^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura externa do isolante é de 80^{\circ} \mathrm{C}, pede-se:
a) a taxa de transferência de calor;
b) sabe-se que acidentalmente uma empilhadeira chocou-se com a parede do forno, destruindo a metade inferior do material isolante (a metade superior do isolante e o material refratário na sua totalidade não foram atingidos pelo acidente). Como não havia o mesmo material no almoxarifado, a metade inferior foi reconstruída com 25 placas de um material k=0,6 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}}, também vendido em placas de 1 \mathrm{~m} \times 1 \mathrm{~m} \times 0,02 \mathrm{~m}. Como a temperatura externa do novo material é de 100^{\circ} \mathrm{C}, determinar o fluxo total de calor através da parede para a nova situação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Espessura do tijolo refratário: 3''.
  • Condutividade térmica do refratário: k_1=1,4\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\;m\;{}^\circ C}}.
  • O isolante é formado por placas de dimensões 1\\ \mathrm{m}\times1\\ \mathrm{m}\times0,02\\ \mathrm{m} (espessura por placa =0,02\\ \mathrm{m}) e são usadas 5 camadas delas. A condutividade do isolante original é k_2=0,15\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\;m\;{}^\circ C}}.
  • Foram usadas ao todo 50 placas desse material para cobrir toda a face da parede.
  • Temperatura na face interna do refratário (lado quente): T_{i}=1000\,{}^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa da face do isolante (lado frio, situação inicial): T_{o}=80\,{}^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) a taxa de transferência de calor (fluxo térmico) através da parede na situação inicial;
(b) após o acidente: a metade inferior do isolante foi reconstruída (mantendo espessura igual) com um material de k_3=0,6\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\;m\;{}^\circ C}}. Foram usadas 25 placas para reconstruir a metade inferior; a metade superior e o refratário ficaram sem dano. A nova temperatura externa do material reconstruído é 100\,{}^\circ\mathrm{C}. Determinar o fluxo total de calor através da parede na nova situação.
Observações que extraí do enunciado (importante para os cálculos):
  • Cada placa tem área 1\\ \mathrm{m}^2. Como foram usadas 50 placas e existem 5 camadas, a área da face da parede é
A=\frac{50\\ \text{placas}}{5\\ \text{camadas}}=10\\ \mathrm{m}^2.
  • A espessura total do isolante (5 camadas) é
L_2=5\times0,02\\ \mathrm{m}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Converter polegadas para metros:
3''=3\times0,0254\\ \mathrm{m}=0,0762\\ \mathrm{m}=L_1.

Passo 2

Breve aula prática (fórmulas e conceitos que vou usar), explicada passo a passo e sem pular etapas.
  • Para condução estacionária unidimensional através de uma placa plana homogênea a condutividade térmica k, espessura L e área A, a resistência térmica da placa é definida por
R=\frac{L}{k\,A}.
Explicação: a resistência diz quanto “impede” o calor de passar; quanto maior a espessura L maior a resistência; quanto maior a condutividade k ou a área A, menor a resistência.
  • Para camadas em série (calor passa uma depois da outra) as resistências se somam:
R_{\text{total}}=\sum_i R_i.
  • A taxa de transferência de calor (fluxo de calor) em regime estacionário é dada por uma “lei de Ohm térmica”:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces que estão nas extremidades do conjunto de resistências.
  • Se partes diferentes da parede têm caminhos térmicos separados (por exemplo, metade com um tipo de isolante e metade com outro), essas metades se comportam como ramos em paralelo: o fluxo total é a soma dos fluxos de cada ramo:
\dot{Q}_{\text{total}}=\dot{Q}_1+\dot{Q}_2+\dots
Cada \dot{Q}_i é calculado com sua própria resistência total e sua própria área e diferença de temperatura local.
Observação prática sobre unidades: trabalharemos em unidades de \mathrm{kcal/h} para energia por tempo, porque k foi dado em \mathrm{kcal/(h\;m\;{}^\circ C)}. As resistências terão unidade \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal} e \dot{Q} virá em \mathrm{kcal/h}.

Passo 3

Calcular as resistências e o fluxo para a situação inicial (parte a).
Dados numéricos já organizados:
L_1=0,0762\\ \mathrm{m},\qquad k_1=1,4\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\;m\;{}^\circ C}},\qquad L_2=0,10\\ \mathrm{m},\qquad k_2=0,15\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\;m\;{}^\circ C}},\qquad A=10\\ \mathrm{m}^2.
Resistência do refratário:
R_1=\frac{L_1}{k_1 A}=\frac{0,0762}{1,4\cdot 10}=\frac{0,0762}{14}=0,005442857\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Resistência do isolante original:
R_2=\frac{L_2}{k_2 A}=\frac{0,10}{0,15\cdot 10}=\frac{0,10}{1,5}=0,066666667\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Resistência total (série):
R_{\text{tot}}=R_1+R_2=0,005442857+0,066666667=0,072109524\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i-T_o = 1000-80=920\\ {}^\circ\mathrm{C}.
Fluxo de calor:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}=\frac{920}{0,072109524}\approx12759\\ \mathrm{kcal/h}.
Comentário prático: isso significa que, na situação inicial, cerca de 1,2759\times10^4\\ \mathrm{kcal} são perdidos por hora através da parede.

Passo 4

Preparar a análise da situação acidentada (parte b): geometria e divisão em ramos.
Interpretação do acidente e dos materiais novos:
  • A parede tem área total A=10\\ \mathrm{m}^2. A metade inferior corresponde a A_2=\tfrac{1}{2}A=5\\ \mathrm{m}^2 e a metade superior a A_1=5\\ \mathrm{m}^2. (Isso decorre do enunciado que diz que a metade inferior foi destruída e reconstruída.)
  • A metade superior manteve o isolante original ( k_2=0,15), com temperatura externa T_{o1}=80\,{}^\circ\mathrm{C}.
  • A metade inferior foi reconstruída com o novo material ( k_3=0,6), mantendo a mesma espessura total do isolante L_2=0,10\\ \mathrm{m}, e sua temperatura externa passou a ser T_{o2}=100\,{}^\circ\mathrm{C}.
  • O refratário permanece inteiro sobre toda a área, e teve a mesma face interna a T_i=1000\,{}^\circ\mathrm{C}. Vamos tratar cada metade como um ramo em paralelo (cada ramo tem sua própria área e seu próprio isolante), somando os fluxos.

Passo 5

Calcular resistência e fluxo do ramo superior (metade intacta).
Dados para o ramo superior:
A_1=5\\ \mathrm{m}^2,\qquad T_{o1}=80\,{}^\circ\mathrm{C},\qquad k_{\text{isol}}=0,15.
Resistência do refratário sobre A_1:
R_{1,\text{ref}}=\frac{L_1}{k_1 A_1}=\frac{0,0762}{1,4\cdot 5}=\frac{0,0762}{7}=0,010885714\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Resistência do isolante original sobre A_1:
R_{1,\text{ins}}=\frac{L_2}{k_2 A_1}=\frac{0,10}{0,15\cdot 5}=\frac{0,10}{0,75}=0,133333333\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Resistência total do ramo superior:
R_{1,\text{tot}}=R_{1,\text{ref}}+R_{1,\text{ins}}=0,010885714+0,133333333=0,144219047\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Diferença de temperatura para o ramo superior:
\Delta T_1=1000-80=920\\ {}^\circ\mathrm{C}.
Fluxo pelo ramo superior:
\dot{Q}_1=\frac{\Delta T_1}{R_{1,\text{tot}}}=\frac{920}{0,144219047}\approx6378{,}603\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 6

Calcular resistência e fluxo do ramo inferior (metade reconstruída com novo material).
Dados para o ramo inferior:
A_2=5\\ \mathrm{m}^2,\qquad T_{o2}=100\,{}^\circ\mathrm{C},\qquad k_3=0,6.
Resistência do refratário sobre A_2 (mesmo que no ramo superior):
R_{2,\text{ref}}=\frac{L_1}{k_1 A_2}=\frac{0,0762}{1,4\cdot 5}=0,010885714\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Resistência do isolante novo sobre A_2:
R_{2,\text{ins}}=\frac{L_2}{k_3 A_2}=\frac{0,10}{0,6\cdot 5}=\frac{0,10}{3}=0,033333333\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Resistência total do ramo inferior:
R_{2,\text{tot}}=R_{2,\text{ref}}+R_{2,\text{ins}}=0,010885714+0,033333333=0,044219048\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
Diferença de temperatura para o ramo inferior:
\Delta T_2=1000-100=900\\ {}^\circ\mathrm{C}.
Fluxo pelo ramo inferior:
\dot{Q}_2=\frac{\Delta T_2}{R_{2,\text{tot}}}=\frac{900}{0,044219048}\approx20357{,}143\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 7

Somar os fluxos dos dois ramos para obter o fluxo total na nova situação.
\dot{Q}_{\text{total}}=\dot{Q}_1+\dot{Q}_2\approx6378{,}603+20357{,}143=26735{,}746\\ \mathrm{kcal/h}.
Interpretação curta: a metade reconstruída com material de k maior (pior isolante) permite um fluxo muito maior, mesmo com a temperatura externa dela sendo 100\,{}^\circ\mathrm{C} (um pouco maior que a outra metade).

Resposta

(a) \dot{Q}\approx12759\\ \mathrm{kcal/h}
(b) \dot{Q}_{\text{total}}\approx26736\\ \mathrm{kcal/h}

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