Uma tubulação de água quente de raio externo
é envolvida por um isolante térmico cilíndrico de raio externo
. A temperatura na superfície externa do tubo é uniforme, estacionária e igual a
. temperatura externa do isolante também é uniforme, estacionária e igual a
, com
. Portanto, calor flui radialmente através do isolante, que possui condutividade térmica
. A qual distância do tubo a temperatura é igual ao valor médio da temperatura nas superfícies interna e externa do isolante? (20%)
Passo 1
Beleza, a questão manda a gente achar em que raio
do isolante a temperatura atinge o valor médio entre as temperaturas da superfície interna (
) e externa (
). Isso é um problema de condução de calor estacionária e unidimensional (só varia com o raio) em coordenadas cilíndricas.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- A lei de Fourier para condução de calor.
- A equação diferencial de equilíbrio térmico em coordenadas cilíndricas.
- Integrar e aplicar as condições de contorno nas superfícies
e .
Passo 2
Primeiro, a teoria: em regime estacionário e sem geração de calor, a equação de condução em coordenadas cilíndricas (só dependência radial) é
Isso vem de igualar a divergência do fluxo de calor ao zero. Integrando uma vez:
Integrando de novo:
Agora a gente aplica as condições de contorno:
Passo 3
Usando
, montamos o sistema:
Subtraindo a primeira da segunda:
E daí
Logo a solução completa é
Passo 4
A gente quer o ponto onde
vale a média
. Então impomos
Subtraindo
dos dois lados:
Se
, a gente cancela esse fator e fica com
Resposta
A distância radial onde a temperatura atinge
é