Uma tubulação de água quente de raio externo r1 é envolvida por um isolante térmico cilíndrico de raio externo r2. A temperatura na superfície externa do tubo é uniforme, estacionária e igual a theta1. temperatura externa do isolante também é uniforme, estacionária e igual a theta2, com theta2. Portanto, calor flui radialmente através do isolante, que possui condutividade térmica k. A qual distância do tubo a temperatura é igual ao valor médio da temperatura nas superfícies interna e externa do isolante? (20%)

Passo 1

Beleza, a questão manda a gente achar em que raio do isolante a temperatura atinge o valor médio entre as temperaturas da superfície interna ( ) e externa ( ). Isso é um problema de condução de calor estacionária e unidimensional (só varia com o raio) em coordenadas cilíndricas.
O que a gente vai precisar:
  • A lei de Fourier para condução de calor.
  • A equação diferencial de equilíbrio térmico em coordenadas cilíndricas.
  • Integrar e aplicar as condições de contorno nas superfícies e .

Passo 2

Primeiro, a teoria: em regime estacionário e sem geração de calor, a equação de condução em coordenadas cilíndricas (só dependência radial) é
1r,ddr!l(r,dthetadrr)=0
Isso vem de igualar a divergência do fluxo de calor ao zero. Integrando uma vez:
r,dthetadr = C1 Longrightarrow dthetadr = C1r
Integrando de novo:
theta(r) = C1ln r + C2
Agora a gente aplica as condições de contorno:

Passo 3

Usando C1ln r1 + C2 = theta1, C1ln r2 + C2 = theta2 , montamos o sistema:
C1(ln r2 - ln r1) = theta2 - theta1 Longrightarrow C1 = theta2 - theta1ln(r2/r1)
Subtraindo a primeira da segunda:
C2 = theta1 - C1ln r1
E daí
theta(r) = theta1 + theta2 - theta1ln(r2/r1),lnrr1
Logo a solução completa é

Passo 4

A gente quer o ponto onde theta1+theta22 = theta1 + theta2 - theta1ln(r2/r1),lnrr1 vale a média theta2-theta12 = theta2 - theta1ln(r2/r1),lnrr1 . Então impomos
12 = ln(r/r1)ln(r2/r1) Longrightarrow lnrr1 = 12,lnr2r1 Longrightarrow rr1 = l(r2r1r)^1/2
Subtraindo dos dois lados:
Se , a gente cancela esse fator e fica com

Resposta

A distância radial onde a temperatura atinge boxedr = raizr1,r2 é

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