Uma turbina a ar e adiabática opera em regime permanente e possui uma vazão mássica de 0,3 \mathrm{~kg} / s. Na entrada, o ar está a 500
{ }^{\circ} \mathrm{C}) e a 1,0 \mathrm{MPa} e na saída, o ar está a 138^{\circ} \mathrm{C} e a 100 kPa . Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser desprezados e o ar é um gás ideal.
Determine:
a) a vazão volumétrica na entrada, em m³/s;
b) a vazão volumétrica na saída, em \mathrm{m}^{3} / s;
c) a potência da turbina, em kW.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a vazão volumétrica na entrada; (b) a vazão volumétrica na saída; (c) a potência da turbina. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente em TeX):
\dot m = 0,3\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica)\n
Temperatura de entrada: T_1 = 500^\circ\mathrm{C} = 773,15\\ \mathrm{K}\n
Pressão de entrada: p_1 = 1,0\\ \mathrm{MPa} = 1\,000\,000\\ \mathrm{Pa}\n
Temperatura de saída: T_2 = 138^\circ\mathrm{C} = 411,15\\ \mathrm{K}\n
Pressão de saída: p_2 = 100\\ \mathrm{kPa} = 100\,000\\ \mathrm{Pa}\n
O problema diz: operação adiabática, regime permanente, ar comportamento de gás ideal, e os efeitos de energia cinética e potencial são desprezados.
Nada mais será assumido além do enunciado; os valores físicos padrão que vou usar são: constante dos gases para o ar \,R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e capacidade calorífica a pressão constante aproximadamente \,c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Vou explicar e usar essas fórmulas nos próximos passos.

Passo 2

Como encontrar a vazão volumétrica? Para um gás ideal a relação entre pressão, temperatura e volume específico é a lei dos gases ideais:
p\,v = R\,T,
onde:
  • p é a pressão em \mathrm{Pa},
  • v é o volume específico em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} (o inverso da densidade),
  • R é a constante específica do gás em \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K}.
Desse modo o volume específico é
v = \frac{R\,T}{p}.
A vazão volumétrica \dot V (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) é simplesmente
\dot V = \dot m \, v = \dot m\,\frac{R\,T}{p}.
Agora aplico isso à entrada ( T_1,p_1). Substituindo números:
\dot V_1 = \dot m\frac{R\,T_1}{p_1} = 0,3\cdot\frac{287\cdot 773,15}{1\,000\,000}.
Faço as contas passo a passo:
287\cdot 773,15 = 221\,894,05,
0,3\cdot 221\,894,05 = 66\,568,215,
\dot V_1 = \frac{66\,568,215}{1\,000\,000} = 0,066568215\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando de forma prática para a prova (mantendo precisão razoável):
\dot V_1 \approx 0,06657\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 3

Agora calcula-se a vazão volumétrica na saída pela mesma fórmula com T_2 e p_2:
\dot V_2 = \dot m\frac{R\,T_2}{p_2} = 0,3\cdot\frac{287\cdot 411,15}{100\,000}.
Cálculos passo a passo:
287\cdot 411,15 = 118\,000,05,
0,3\cdot 118\,000,05 = 35\,400,015,
\dot V_2 = \frac{35\,400,015}{100\,000} = 0,35400015\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando para a prova:
\dot V_2 \approx 0,3540\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Observação rápida: faz sentido fisicamente que \dot V_2 seja maior que \dot V_1, porque a pressão caiu muito (de 1{,}0\\ \mathrm{MPa} para 100\\ \mathrm{kPa}) e a temperatura também diminuiu, mas a queda de pressão domina no comportamento do volume específico.

Passo 4

Agora a potência da turbina. Use o balanço de energia para um fluxo permanente, desprezando variações de energia cinética e potencial e admitindo processo adiabático ( \dot Q=0). A forma do primeiro princípio é:
\dot Q - \dot W = \dot m\,(h_2 - h_1).
Como \dot Q=0 (adiabático), fica
-\,\dot W = \dot m\,(h_2 - h_1)\quad\Rightarrow\quad \dot W = \dot m\,(h_1 - h_2).
Aqui \dot W é a potência útil produzida pela turbina (positiva se trabalho é extraído).
Para um gás ideal com capacidade calorífica aproximadamente constante, a entalpia específica é
h = c_p\,T,
onde c_p é a capacidade calorífica a pressão constante. Para ar seco usamos c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Logo:
\Delta h = h_1 - h_2 = c_p\,(T_1 - T_2).
Substituindo:
\Delta h = 1005\cdot(773,15 - 411,15) = 1005\cdot 362,00 = 363\,810\\ \mathrm{J/kg}.
A potência é então
\dot W = \dot m\,\Delta h = 0,3\cdot 363\,810 = 109\,143\\ \mathrm{W}.
Convertendo para \mathrm{kW}:
\dot W = 109,143\\ \mathrm{kW} \approx 109,1\\ \mathrm{kW}.
Breve nota didática: usei c_p constante; para variação de temperatura grande pode-se usar tabelas de ar ou uma dependência c_p(T), mas em muitos exercícios de graduação a aproximação por c_p constante é aceita e suficiente.

Passo 5

Resumo dos resultados úteis já calculados (estes serão replicados de forma limpa na seção de resposta final):
  • Vazão volumétrica na entrada: \dot V_1 \approx 0,06657\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
  • Vazão volumétrica na saída: \dot V_2 \approx 0,3540\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
  • Potência da turbina (produzida): \dot W \approx 109,1\\ \mathrm{kW}.
Força final: você já resolveu a parte mais chata — transformar unidades e aplicar duas fórmulas básicas (lei dos gases ideais e balanço de energia). Na prova, faça primeiro a conversão das temperaturas para Kelvin e das pressões para Pascal, depois aplique as fórmulas que usei. Boa sorte, você consegue!

Resposta

\dot V_1 = 0,06657\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\n
\dot V_2 = 0,3540\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\n
\dot W = 109,1\\ \mathrm{kW}