Uma turbina hidráulica opera com uma coluna de 50 m de água. As tubulações de entrada e saída têm 2 m de diâmetro. Estime a potência mecânica desenvolvida pela turbina para uma velocidade de saída de 5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma queda (coluna) de água de H = 50\\ \mathrm{m} que passa por uma turbina. As tubulações de entrada e saída têm diâmetro D = 2\\ \mathrm{m} e a água sai com velocidade v_{\mathrm{out}} = 5\\ \mathrm{m/s}. Precisamos estimar a potência mecânica P desenvolvida. O conteúdo aplicado é a equação de energia (Bernoulli) para fluxo contínuo mais a relação de potência
P = \dot m \,\Delta e,
onde \Delta e é a energia específica disponível por unidade de massa.

Passo 2

Primeiro calculamos a vazão volumétrica Q. A seção transversal da tubulação é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(2\\ \mathrm{m})^2}{4} = \pi\\ \mathrm{m}^2.
Como a velocidade de saída é v_{\mathrm{out}}=5\\ \mathrm{m/s} e, por simetria, a velocidade de entrada v_{\mathrm{in}} é a mesma (mesmo diâmetro), temos
Q = A\,v = \pi \times 5 = 5\pi\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

A potência mecânica aproveitada pela turbina vem da diferença de energia específica entre entrada e saída. Em termos de altura de carga:
\Delta e = g\,H + \frac{v_{\mathrm{in}}^2 - v_{\mathrm{out}}^2}{2}\,.
Como v_{\mathrm{in}} = v_{\mathrm{out}}, o termo cinético cancela, ficando \Delta e = g\,H. A vazão mássica é
\dot m = \rho\,Q = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} \times 5\pi\\ \mathrm{m^3/s} = 5000\pi\\ \mathrm{kg/s}.
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P = \dot m\,g\,H = (5000\pi)\times 9{,}81\times 50\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calculando numericamente:
P = 5000\pi \times 9{,}81 \times 50 = 5000 \times 490{,}5 \times \pi \approx 2{,}4525\times 10^6 \,\pi \approx 7{,}70\times 10^6\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência mecânica desenvolvida pela turbina é aproximadamente
P \approx 7{,}7\\ \mathrm{MW}.

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