Uma turbina a vapor de extração-condensação recebe o fluido de trabalho com vazão de 10800 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, pressão de 180 bar, temperatura de 450^{\circ} \mathrm{C} e velocidade de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .12 \% em massa do escoamento sai a 5 bar com uma velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O restante vai para o condensador, na pressão de 0,5 bar e velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A turbina possui eficiência isentrópica de 88 \%. Calcule os diâmetros do duto de entrada e de cada duto de saída da turbina, a temperatura do vapor em cada duto de saida e a potência gerada pela turbina. (Dado: 1 bar = 100 kPa ).

Passo 1

O enunciado descreve uma turbina a vapor de extração-condensação que recebe vapor superaquecido a 180 bar e 450\circC com vazão volumétrica de 10800 m^{3}/h e velocidade de 8 m/s. Sai 12 % em massa a 5 bar e 30 m/s e o resto a 0,5 bar e 40 m/s. A eficiência isentrópica é 88 %. Precisamos achar:
  1. Diâmetro do duto de entrada.
  2. Diâmetros dos dutos de extração (5 bar) e de saída (0,5 bar).
  3. Temperatura em cada saída.
  4. Potência gerada.
Para isso vamos usar:
– Relação entre vazão volumétrica, área e velocidade:
Q = A\,v\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{Q}{v},\quad D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}
– Relação entre vazão mássica e volumétrica:
\dot m = \frac{Q}{v_{\rm esp}},
onde v_{\rm esp} é volume específico do vapor (tabela ou gás ideal).
– Entalpias e entropias em tabelas de vapor para calcular expansões isentrópicas e reais, e a temperatura de saturação.
– Trabalho na turbina como soma dos dois estágios:
W = \dot m\,(h_{1}-h_{2}) + (\dot m-\dot m_{\rm extra})\,(h_{2}-h_{3}).

Passo 2

Calcular vazão mássica e diâmetro de entrada.
Usando aproximação de gás ideal para o volume específico em 180 bar e 450\circC:
v_{1} \approx \frac{R\,T_{1}}{p_{1}} = \frac{0,4615\;\mathrm{kJ/(kg\,K)}\times(450+273)\,\mathrm K}{180\,000\;\mathrm{kPa}} \approx0{,}0185\;\mathrm{m^3/kg}.
A vazão volumétrica é
Q_{\rm in} = \frac{10800}{3600}=3\;\mathrm{m^3/s},
logo a vazão mássica
\dot m = \frac{Q_{\rm in}}{v_{1}} \approx \frac{3}{0{,}0185}\approx162\;\mathrm{kg/s}.
A área de entrada:
A_{\rm in}=\frac{Q_{\rm in}}{v_{\rm in}}=\frac{3}{8}=0{,}375\;\mathrm{m^2},
D_{\rm in}=\sqrt{\frac{4A_{\rm in}}{\pi}} \approx\sqrt{\frac{4\times0{,}375}{\pi}}\approx0{,}69\;\mathrm m.

Passo 3

Expansão até 5 bar (extração).
  1. Buscar em tabela de vapor superaquecido:
    \,h_{1}\approx3318\;\mathrm{kJ/kg},\;s_{1}\approx6{,}005\;\mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  2. Isentrópico até 5 bar:
    em 5 bar s_{f}=1{,}841, s_{fg}=5{,}055.
x_{2s}=\frac{s_{1}-s_{f}}{s_{fg}} =\frac{6{,}005-1{,}841}{5{,}055}\approx0{,}824,
h_{2s}=h_{f}+x_{2s}\,h_{fg} =640{,}1 +0{,}824\times2201{,}1\approx2455\;\mathrm{kJ/kg}.
  1. Real com \eta_{\rm is}=0{,}88:
h_{2}=h_{1}-\eta_{\rm is}(h_{1}-h_{2s}) =3318-0{,}88\,(3318-2455)\approx2559\;\mathrm{kJ/kg}.
  1. Determinar qualidade real x_{2}:
x_{2}=\frac{h_{2}-h_{f}}{h_{fg}} =\frac{2559-640{,}1}{2201{,}1}\approx0{,}872.
A temperatura do vapor úmido é a de saturação em 5 bar:
T_{2}=T_{\rm sat}(5\,\mathrm{bar})\approx152{,}9\;^\circ\mathrm C.
  1. Volume específico em 5 bar e qualidade x_{2}:
    em 5 bar v_{f}=0{,}00109, v_{fg}=0{,}3736,
v_{2}=v_{f}+x_{2}\,v_{fg} \approx0{,}00109+0{,}872\times0{,}3736 \approx0{,}326\;\mathrm{m^3/kg}.
  1. Vazão volumétrica extraída:
Q_{2}=\dot m_{\rm extra}\,v_{2} =(0{,}12\times162)\times0{,}326\approx6{,}33\;\mathrm{m^3/s}.
  1. Área e diâmetro do duto de extração:
A_{2}=\frac{Q_{2}}{30}\approx0{,}211\;\mathrm{m^2},\quad D_{2}=\sqrt{\frac{4A_{2}}{\pi}}\approx0{,}52\;\mathrm m.

Passo 4

Expansão do restante até 0,5 bar (condensador).
  1. \dot m_{3}=0{,}88\times162\approx142{,}6\;\mathrm{kg/s}.
  2. Entropia na entrada do segundo estágio:
s_{2}=s_{f}+x_{2}\,s_{fg} =1{,}841+0{,}872\times5{,}055\approx6{,}25\;\mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  1. Isentrópico até 0,5 bar s_{f}=1{,}091,\;s_{fg}=7{,}030:
x_{3s}=\frac{s_{2}-s_{f}}{s_{fg}} =\frac{6{,}25-1{,}091}{7{,}030}\approx0{,}74,
h_{3s}=h_{f}+x_{3s}\,h_{fg} =340{,}5 +0{,}74\times2257{,}6\approx2102\;\mathrm{kJ/kg}.
  1. Real com \eta_{\rm is}=0{,}88:
h_{3}=h_{2}-\eta_{\rm is}(h_{2}-h_{3s}) =2559-0{,}88\,(2559-2102)\approx2156\;\mathrm{kJ/kg}.
  1. Qualidade real e temperatura:
x_{3}=\frac{h_{3}-h_{f}}{h_{fg}} =\frac{2156-340{,}5}{2257{,}6}\approx0{,}80,
T_{3}=T_{\rm sat}(0{,}5\,\mathrm{bar})\approx81{,}3\;^\circ\mathrm C.
  1. Volume específico em 0,5 bar: v_{f}=0{,}00101,\;v_{fg}=12{,}35:
v_{3}=0{,}00101+0{,}80\times12{,}35\approx9{,}88\;\mathrm{m^3/kg}.
  1. Vazão volumétrica e diâmetro do duto de saída:
Q_{3}=\dot m_{3}\,v_{3}\approx142{,}6\times9{,}88\approx1410\;\mathrm{m^3/s},
A_{3}=\frac{Q_{3}}{40}\approx35{,}3\;\mathrm{m^2},\quad D_{3}=\sqrt{\frac{4A_{3}}{\pi}}\approx6{,}70\;\mathrm m.

Passo 5

Cálculo da potência total:
  1. Trabalho no primeiro estágio:
W_{1}=\dot m\,(h_{1}-h_{2}) =162\,(3318-2559)\approx162\times759\approx122{,}9\;\mathrm{MW}.
  1. Trabalho no segundo estágio:
W_{2}=\dot m_{3}\,(h_{2}-h_{3}) =142{,}6\,(2559-2156)\approx142{,}6\times403\approx57{,}5\;\mathrm{MW}.
  1. Potência total gerada
W=W_{1}+W_{2}\approx122{,}9+57{,}5\approx180{,}4\;\mathrm{MW}.

Resposta

Diâmetro do duto de entrada: D_{\rm in}\approx0{,}69\;\mathrm m
Diâmetro do duto de extração (5 bar): D_{2}\approx0{,}52\;\mathrm m
Diâmetro do duto de saída (0,5 bar): D_{3}\approx6{,}70\;\mathrm m
Temperatura na extração: T_{2}\approx152{,}9\;^\circ\mathrm C
Temperatura na saída para o condensador: T_{3}\approx81{,}3\;^\circ\mathrm C
Potência gerada pela turbina: W\approx180{,}4\;\mathrm{MW}.

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