4 Ar úmido entra em um duto a 10^{\circ} \mathrm{C}, 80 \% de umidade relativa e com uma vazão volumétrica de 150 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. A mistura é aquecida à medida que esta escoa através do duto e sai a 30^{\circ} \mathrm{C}. Nenhuma umidade é adicionada ou retirada, e a pressão da mistura permanece aproximadamente constante em 1 bar. Para operação em regime permanente, determine (a) a taxa de transferência de calor, em \mathrm{kJ} / \mathrm{min}, e (b) a umidade relativa na saída. (R: 3717 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min} ; ~ \Phi=23,1 \% )

Passo 1

O enunciado dá ar úmido entrando num duto e saindo mais quente, em regime permanente. Perguntas e dados relevantes:
  • Perguntas:
    (a) Determinar a taxa de transferência de calor (em \mathrm{kJ/min}).
    (b) Determinar a umidade relativa na saída (em \%).
  • Dados fornecidos:
    \begin{aligned} &\text{Temperatura de entrada: } T_1 = 10^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Umidade relativa de entrada: } \Phi_1 = 80\%,\\\ &\text{Vazão volumétrica (à entrada): } \dot V = 150\\ \mathrm{m^3/min},\\\ &\text{Temperatura de saída: } T_2 = 30^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Pressão total (aprox.): } p = 1\\ \text{bar (usaremos }100\\ \mathrm{kPa}\text{).} \end{aligned}ãéàíã
  • Observações que já sei do enunciado:
    • Não há adição nem remoção de vapor d’água (a massa de vapor permanece constante).
    • Regime permanente → massa de ar seco e massa de vapor são constantes ao longo do duto.
    • Vou precisar de pressões de saturação da água: usarei \,p_{sat}(10^\circ\mathrm{C})=1{,}228\\ \mathrm{kPa} e \,p_{sat}(30^\circ\mathrm{C})=4{,}246\\ \mathrm{kPa} (valores de tabela/psicrometria).
    • Constantes usadas (valores usuais): c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad R_d=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Calcular a pressão parcial do vapor na entrada. Explico a ideia: a umidade relativa \Phi é a razão entre a pressão parcial do vapor (p_v) e a pressão de saturação (p_{sat}) àquela temperatura, ou seja
\Phi = \frac{p_v}{p_{sat}}.
Então
p_{v1} = \Phi_1 \, p_{sat}(T_1) = 0{,}80 \times 1{,}228\\ \mathrm{kPa} = 0{,}9824\\ \mathrm{kPa}.
A pressão parcial do ar seco na entrada é
p_{a1} = p - p_{v1} = 100{,}0\\ \mathrm{kPa} - 0{,}9824\\ \mathrm{kPa} = 99{,}0176\\ \mathrm{kPa}.
(Observação: usei 1\\ \mathrm{bar}=100\\ \mathrm{kPa} conforme a indicação “aproximadamente 1 bar”.)

Passo 3

Calcular a razão de mistura (umidade absoluta) w, que é a massa de vapor por massa de ar seco. A fórmula que liga w com as pressões é
w = 0{,}622\,\frac{p_v}{p - p_v},
onde 0{,}622 é a razão das constantes dos gases \frac{M_v}{M_a}. Aplicando na entrada:
w_1 = 0{,}622\;\frac{0{,}9824}{100{,}0-0{,}9824} = 0{,}622\;\frac{0{,}9824}{99{,}0176} \approx 0{,}0061746\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
Interpretação didática: para cada quilograma de ar seco há cerca de 0{,}00617 kg de vapor.

Passo 4

Calcular a vazão mássica de ar seco a partir da vazão volumétrica. Ideia: a massa de ar seco por volume é dada pela equação dos gases para a parcela do ar seco:
\rho_{a1} = \frac{p_{a1}}{R_d\,T_1},
onde T_1 em kelvin e p_{a1} em pascal. Convertendo:
T_1 = 10^\circ\mathrm{C} = 283{,}15\\ \mathrm{K},\quad p_{a1}=99{,}017{,}6\\ \mathrm{Pa}.
Então
\rho_{a1} = \frac{99{,}017{,}6}{287{,}05\times 283{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3} \approx 1{,}2186\\ \mathrm{kg/m^3}.
A vazão mássica de ar seco é
\dot m_{a} = \rho_{a1}\,\dot V = 1{,}2186\\ \mathrm{kg/m^3}\times 150\\ \mathrm{m^3/min} \approx 182{,}79\\ \mathrm{kg/min}.
Comentário prático: eu calculei a massa do ar seco por volume usando apenas a pressão parcial do ar seco, porque a massa de vapor já está sendo contabilizada separadamente através de w.

Passo 5

Calcular a vazão mássica de vapor (entrando) e observar conservação. A vazão mássica de vapor é
\dot m_v = w_1 \,\dot m_a = 0{,}0061746 \times 182{,}79\\ \mathrm{kg/min} \approx 1{,}1283\\ \mathrm{kg/min}.
Em regime permanente e sem remoção/adição de umidade, a \dot m_v permanece a mesma na saída. Portanto a razão de mistura na saída w_2 (massa vapor por massa ar seco) é a mesma:
w_2 = \frac{\dot m_v}{\dot m_a} = w_1 \approx 0{,}0061746.

Passo 6

Determinar a umidade relativa na saída. Primeiro obtenho a pressão parcial do vapor na saída a partir de w_2. Reescrevendo a fórmula de w:
p_v = \frac{w\,p}{0{,}622 + w}.
Aplicando com p=100{,}0\\ \mathrm{kPa} e w=w_2:
p_{v2} = \frac{0{,}0061746\times 100{,}0}{0{,}622 + 0{,}0061746}\\ \mathrm{kPa} \approx 0{,}9824\\ \mathrm{kPa}.
Observação didática: perceba que p_{v2} ficou praticamente igual a p_{v1} — isso acontece porque w e p não mudaram; a pressão parcial do vapor depende de w e p, não diretamente de T.
Agora a umidade relativa na saída é
\Phi_2 = \frac{p_{v2}}{p_{sat}(T_2)} = \frac{0{,}9824\\ \mathrm{kPa}}{4{,}246\\ \mathrm{kPa}} \approx 0{,}2313 = 23{,}13\%.
Arredondando para uma casa decimal: \Phi_2 \approx 23{,}1\%. Intuição: ao aquecer sem adicionar/remover vapor, o ar “fica mais seco” (a % de saturação cai) porque a pressão de saturação aumenta com a temperatura.

Passo 7

Calcular a taxa de transferência de calor. Método: balanço de energia em regime permanente para o fluxo de ar úmido. Trabalho e variação de energia cinética/potencial são negligenciáveis; então a taxa de calor é igual ao fluxo mássico de ar seco multiplicado pela variação de entalpia por unidade de massa de ar seco:
\dot Q = \dot m_a \,\Delta h_{\text{por kg de ar seco}}.
A entalpia do ar úmido por kg de ar seco é, comumente,
h = c_{pa}\,T + w\,(h_{fg,0} + c_{pv}\,T),
onde h_{fg,0}\approx 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é o calor latente aproximadamente à referência 0^\circ\mathrm{C}. Como w não muda, o termo w\,h_{fg,0} cancela ao calcular \Delta h. Logo
\Delta h = \bigl(c_{pa} + w\,c_{pv}\bigr)\,(T_2-T_1).
Explico: o primeiro termo é o aquecimento do ar seco; o segundo é o aquecimento do vapor em razão de sua capacidade calorífica. Substituindo valores (com T em °C porque usamos capacidades em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}):
c_{pa} + w\,c_{pv} = 1{,}005 + 0{,}0061746\times 1{,}86 \approx 1{,}01649\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
\Delta T = T_2-T_1 = 30^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=20\\ \mathrm{K}.
\Delta h = 1{,}01649\times 20 \approx 20{,}3298\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
Agora a taxa de calor é
\dot Q = \dot m_a \,\Delta h = 182{,}79\\ \mathrm{kg/min}\times 20{,}3298\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 3717{,}3\\ \mathrm{kJ/min}.
Arredondando para três algarismos significativos: \dot Q \approx 3717\\ \mathrm{kJ/min}.

Resposta

3717 kJ/min
23,1 %

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