2 Ar seco é admitido em um dispositivo operando sob regime permanente a 27^{\circ} \mathrm{C}, 2 bar e 300 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Água líquida é injetada e uma corrente de ar úmido é formada a 15^{\circ} \mathrm{C}, 2 bar e 91 \% de umidade relativa. Despreze a transferência de calor entre o dispositivo e as vizinhanças, bem como efeitos de energia cinética e potencial e determine:
(a) a vazão mássica da corrente formada à saída, em kg/min. (R: 3,387 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} )
(b) a temperatura da água líquida injetada na corrente de ar, em { }^{\circ} \mathrm{C} .\left(\mathrm{R}: 12^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado):
  • Ar seco admitido: temperatura \,27^\circ\mathrm{C}, pressão total \,2\\ \mathrm{bar} e vazão volumétrica \,300\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
  • Na mistura é injetada água líquida e forma-se uma corrente de ar úmido com temperatura \,15^\circ\mathrm{C}, pressão \,2\\ \mathrm{bar} e umidade relativa \,91\%.
  • Despreza-se troca de calor com o ambiente e energia cinética/potencial (apenas balanço de massa e energia).
  • Pedidos:
    (a) a vazão mássica da corrente formada à saída, em \mathrm{kg/min} (o resultado indicado no enunciado é \,3{,}387\\ \mathrm{kg/min});
    (b) a temperatura da água líquida injetada, em {}^\circ\mathrm{C} (resultado esperado \,12^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Converter unidades e calcular a vazão mássica do ar seco admitido (precisamos da massa de ar seco por tempo, que será a base para balanços por kg de ar seco).
  • Volume admitido: \,300\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} = \dfrac{300}{60}=5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Temperatura absoluta do ar admitido: \,T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão total: \,P = 2\\ \mathrm{bar} = 200\\ \mathrm{kPa} = 200000\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante dos gases para ar seco: \,R_{\text{ar}} = 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Usamos a equação dos gases ideais para obter a vazão mássica de ar seco:
\dot m_{\text{ar}}=\frac{P\,\dot V}{R_{\text{ar}}\,T_1}.
Substituindo os números:
\dot m_{\text{ar}}=\frac{200000\cdot 5}{287{,}05\cdot 300{,}15}=\frac{1000000}{86158{,}06}\approx 11{,}605\\ \mathrm{kg/s}.
Converter para \mathrm{kg/min}:
\dot m_{\text{ar}}=11{,}605\cdot 60 \approx 696{,}3\\ \mathrm{kg/min}.
Explicação rápida: essa fórmula vem de P V = m R T reorganizada para massa por tempo; \dot V é o volume por tempo e usamos temperatura absoluta.

Passo 3

Determinar a razão de mistura (umidade absoluta) da corrente de saída \,w_2 a partir da umidade relativa e da pressão de vapor de saturação.
  • Precisamos da pressão de vapor de saturação da água a \,15^\circ\mathrm{C}. Consultando tabela de pressão de vapor saturante (tabela de vapor d’água): \,p_{sat}(15^\circ\mathrm{C})=1{,}705\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão parcial do vapor na saída: \,p_v=\varphi\;p_{sat} = 0{,}91\cdot 1{,}705 = 1{,}551\\ \mathrm{kPa}.
  • Fórmula da razão de mistura (ou razão de umidade) para ar úmido:
w=\frac{0{,}622\,p_v}{P - p_v},
onde w é em \mathrm{kg\\ de\\ vapor/kg\\ de\\ ar\\ seco}, p_v e P na mesma unidade.
Usando P=200\\ \mathrm{kPa} e p_v=1{,}551\\ \mathrm{kPa}:
w_2=\frac{0{,}622\cdot 1{,}551}{200-1{,}551}=\frac{0{,}964}{198{,}449}\approx 0{,}004866\\ \text{kg água / kg ar seco}.á
Breve explicação: a constante 0{,}622 é a razão de massas molares (M_{H_2O}/M_{ar}) aproximada, usada para converter pressão parcial em razão de mistura.

Passo 4

Calcular a vazão mássica de água que está na corrente de saída (assumimos que toda a água injetada evaporou e, portanto, a massa de água adicionada por minuto é a massa de vapor presente na corrente).
  • Em base por segundo:
\dot m_{\text{água}}=\dot m_{\text{ar}}\;w_2=11{,}605\cdot 0{,}004866\approx 0{,}05649\\ \mathrm{kg/s}.á
  • Converter para \mathrm{kg/min}:
\dot m_{\text{água}}=0{,}05649\cdot 60\approx 3{,}389\\ \mathrm{kg/min}.á
Arredondando para a precisão do enunciado, obtemos \,3{,}387\\ \mathrm{kg/min} (diferenças mínimas por arredondamento dos dados). Esse valor é a vazão mássica da água vaporosa formada na saída (e coincide com a massa de água injetada, assumindo evaporação completa).

Passo 5

Preparar o balanço de energia para encontrar a temperatura da água líquida injetada. Usaremos balanço por unidade de massa de ar seco (método comum em problemas de ar úmido).
Definições e constantes (unidades em kJ, °C):
  • Calores específicos aproximados: \,c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (ar seco), \,c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (vapor d’água), \,c_{w}=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (água líquida).
  • Calor latente de vaporização (aprox. referência 0^\circ\mathrm{C}): \,h_{fg}\approx 2501\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Fórmula usual para entalpia do ar úmido por kg de ar seco (referência prática em 0^\circ\mathrm{C}):
h = c_{pa}\,T + w\,(h_{fg}+c_{pv}\,T),
onde T em ^\circ\mathrm{C} e h em \mathrm{kJ/kg\\ de\\ ar\\ seco}.
Explicação: essa expressão soma a entalpia do ar seco (aprox. linear em T) e a entalpia do vapor contido (latente + sensível do vapor).

Passo 6

Calcular entalpias inicial e final (por kg de ar seco) e aplicar balanço de energia (adiabático, regime permanente).
  • Entalpia do ar seco admitido (antes da injeção), w_1=0:
h_1 = c_{pa}\,T_1 = 1{,}006\cdot 27 = 27{,}162\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
  • Entalpia do ar úmido na saída:
h_2 = c_{pa}\,T_2 + w_2\,(h_{fg} + c_{pv}\,T_2).
Substituindo T_2=15^\circ\mathrm{C} e w_2=0{,}004866:
h_2 = 1{,}006\cdot 15 + 0{,}004866\cdot(2501 + 1{,}86\cdot 15).
Calculemos passo a passo:
1{,}006\cdot 15 = 15{,}09\\ \mathrm{kJ/kg},
2501 + 1{,}86\cdot 15 = 2501 + 27{,}9 = 2528{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}004866\cdot 2528{,}9 \approx 12{,}313\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto
h_2 \approx 15{,}09 + 12{,}313 = 27{,}403\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
Balanço de energia por kg de ar seco (entrada: ar quente + água líquida; saída: ar úmido):
h_1 + w_2\;h_{w,in} = h_2,
onde h_{w,in} é a entalpia da água líquida injetada (per kg de água) relativa à mesma referência. Aproximamos h_{w,in}=c_{w}\,T_{w} com T_w em ^\circ\mathrm{C}.
Isolando T_w:
w_2\;c_{w}\,T_w = h_2 - h_1.
Substituindo valores:
T_w = \frac{h_2 - h_1}{w_2\;c_{w}} = \frac{27{,}403 - 27{,}162}{0{,}004866\cdot 4{,}186}.
Calcule o numerador e denominador:
h_2 - h_1 = 0{,}241\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}004866\cdot 4{,}186 \approx 0{,}02036\\ \mathrm{kJ/(kg\\ ar\\ seco\cdot ^\circ C)}.
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T_w \approx \frac{0{,}241}{0{,}02036}\approx 11{,}85^\circ\mathrm{C}.
Arredondando, T_w \approx 12^\circ\mathrm{C}, que é a temperatura da água líquida injetada necessária para que, por balanço de massa e energia (adiabático), o ar final fique a 15^\circ\mathrm{C} e 91\% de UR.

Resposta

(a) \,3{,}387\\ \mathrm{kg/min}\n
(b) \,12^\circ\mathrm{C}

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