Uma única corrente de gás entra em um processo nas condições T1, P1, e o deixa na pressão de P2. O processo é adiabático. Prove que a temperatura de saída T2 para o processo adiabático real (irreversível) é maior do que para um processo adiabático reversível. Considere o gás como ideal com capacidades caloríficas constantes.

Passo 1

O enunciado diz que uma única corrente de gás ideal (capacidades caloríficas constantes) entra em uma máquina nas condições T1,P1 e sai na pressão P2, e que todo o processo é adiabático, porém irreversível. Queremos mostrar que a temperatura de saída T2,irrev é maior do que a temperatura de saída T2,rev no mesmo processo, caso ele fosse adiabático e reversível. Vamos usar a segunda lei da termodinâmica em forma de desigualdade de entropia.

Passo 2

Para um gás ideal com cp e cv constantes, a variação de entropia entre estados (T1,P1) e (T2,P2) é dada por
De<a s = s2-s1 = cpln!gl(T2T1gr) - Rln!gl(P2P1gr)
Como o processo é adiabático, não há troca de calor com o ambiente e, pela segunda lei, gera-se entropia quando é irreversível. Logo
De<a s ;=; s2-s1;>=;0,
sendo o “ >=” estrito se houver irreversibilidade.

Passo 3

No caso reversível (adiabático e sem geração de entropia), temos exatamente
De<a srev = 0 Longrightarrow cpln!gl(T2,revT1gr) = Rln!gl(P2P1gr)
Isolando tfracT2,revT1, vem
ln!gl(T2,revT1gr) = Rcpln!gl(P2P1gr) Longrightarrow T2,revT1 = l(P2P1r)^tfracRcp

Passo 4

Para o processo irreversível, temos geração de entropia e portanto
De<a sirrev = cpln!gl(T2,irrevT1gr) - Rln!gl(P2P1gr) > 0
Reorganizando a desigualdade,
cpln!gl(T2,irrevT1gr) > Rln!gl(P2P1gr) Longrightarrow ln!gl(T2,irrevT1gr) > Rcpln!gl(P2P1gr)
Exponenciando ambos os lados, obtemos
T2,irrevT1 > l(P2P1r)^tfracRcp Longrightarrow T2,irrev > T1,l(P2P1r)^tfracRcp = T2,rev

Resposta

T2,irrev > T2,rev.

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