A uniform sphere of mass M, radius a, has two point masses 14 M, 18 M, located on its surface and separated by an angular distance of 45^circ. Find the inertia tensor about parallel axes through the center of mass. Are they still principal axes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera uniforme com massa total M e raio a. Nessa esfera, têm duas massas pontuais: uma com 14 M e outra com 18 M, ambas localizadas na superfície da esfera e separadas por um ângulo de 45^circ. Nosso objetivo é encontrar o tensor de inércia em relação a eixos paralelos que passam pelo centro de massa (COM) da combinação desses corpos. Além disso, queremos saber se esses eixos ainda são eixos principais.
Vamos precisar entender conceitos de tensor de inércia, como calcular para sistemas compostos e identificar eixos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Para um objeto rígido, ele nos ajuda a entender como ele vai girar sob a ação de torques.

Passo 3

Como temos uma esfera uniforme, podemos calcular o tensor de inércia dela em relação ao seu centro. Para uma esfera sólida, o tensor de inércia é dado por:
Iesfera = 25 M a^2 cdot I
Onde I é a matriz identidade 3x3, já que a esfera é simétrica e todos os eixos principais têm o mesmo momento de inércia.

Passo 4

Agora, consideramos as duas massas pontuais na superfície da esfera. Vamos chamar essas massas de m1 = 14 M e m2 = 18 M, separadas por um ângulo de 45^circ. Para cada massa pontual, o tensor de inércia em relação ao COM é dado por:
Iij = m ( r^2 de
Onde r é a distância até o eixo de rotação (neste caso, o raio a), de é o delta de Kronecker, e xi são as coordenadas da massa pontual.

Passo 5

Vamos escolher o sistema de coordenadas de forma que uma das massas pontuais esteja no eixo x positivo e a outra esteja a 45^circ em relação a ele no plano xy. Assim, as coordenadas são:
  • Para m1: (a, 0, 0)
  • Para m2: (a cos 45^circ, a sin 45^circ, 0)

Passo 6

Calculando o tensor de inércia para cada massa pontual:
Para m1:
I^(1) = m1 0 & 0 & 0 0 & a^2 & 0 0 & 0 & a^2
Para m2:
I^(2) = m2 sin^2 45^circ & -sin 45^circ cos 45^circ & 0 -sin 45^circ cos 45^circ & cos^2 45^circ & 0 0 & 0 & a^2
Simplificando com sin 45^circ = cos 45^circ = raiz22:
I^(2) = m2 a^22 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2

Passo 7

Agora, somamos os tensores de inércia da esfera e das duas massas pontuais:
Itotal = Iesfera + I^(1) + I^(2)
Substituindo os valores:
Itotal = 25 M a^2 I + 14 M a^21 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 18 M a^22 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2

Passo 8

Realizando as operações matemáticas:
  1. 25 M a^2 I = 25 M a^2 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  2. 14 M a^2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 0 & 0 & 0 0 & 14 M a^2 & 0 0 & 0 & 14 M a^2
  3. 18 M a^22 = 116 M a^2
Então,

$$
\frac{1}{16} M a^2
116 M a^2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 = 116 M a^2 & -116 M a^2 & 0 -116 M a^2 & 116 M a^2 & 0 0 & 0 & 216 M a^2 = 116 M a^2 & -116 M a^2 & 0 -116 M a^2 & 116 M a^2 & 0 0 & 0 & 18 M a^2

$$

Passo 9

Somando todas as contribuições:
Diagonal x:
25 M a^2 + 0 + 116 M a^2 = ( 25 + 116 ) M a^2 = 3280 M a^2 + 580 M a^2 = 3780 M a^2
Diagonal y:
25 M a^2 + 14 M a^2 + 116 M a^2 = ( 25 + 14 + 116 ) M a^2 = 3280 + 2080 + 580 = 5780 M a^2
Diagonal z:
25 M a^2 + 14 M a^2 + 18 M a^2 = ( 25 + 14 + 18 ) M a^2 = 3280 + 2080 + 1080 = 6280 M a^2 = 3140 M a^2
Os termos off-diagonais:
Somam-se apenas os termos das massas pontuais:
-116 M a^2 tanto para xy quanto para yx.

Passo 10

Portanto, o tensor de inércia total fica:
Itotal = 3780 M a^2 & -116 M a^2 & 0 -116 M a^2 & 5780 M a^2 & 0 0 & 0 & 3140 M a^2

Passo 11

Para verificar se os eixos são principais, precisamos ver se o tensor de inércia é diagonal, ou seja, se os termos off-diagonais são zero. No nosso caso, temos -116 M a^2 nos termos xy e yx, que não são zero. Isso significa que os eixos escolhidos não são eixos principais.

Resposta

O tensor de inércia em relação aos eixos paralelos que passam pelo centro de massa é:
Itotal = 3780 M a^2 & -116 M a^2 & 0 -116 M a^2 & 5780 M a^2 & 0 0 & 0 & 3140 M a^2
Além disso, como os termos off-diagonais não são zero, os eixos considerados não são eixos principais.

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