- Usando a definição de ponto crítico, mostre que não pode haver transição de fase para um gás ideal.
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de ponto crítico para mostrar que um gás ideal não pode apresentar transição de fase. O conteúdo é termodinâmica, mais precisamente o estudo de pontos críticos em diagramas p–V, e vamos precisar da equação de estado do gás ideal e da condição matemática de ponto crítico.
Passo 2
Um ponto crítico é definido como o ponto de inflexão na isoterma p–V em que se anulam a primeira e a segunda derivadas de pressão em relação ao volume (à temperatura constante). Portanto, as condições são:
e
.
Passo 3
A equação de estado do gás ideal em forma p–V é
$$
p = \frac{NkT}{V}$$
onde N é o número de mols (ou de partículas), k é a constante de Boltzmann e T a temperatura.
onde N é o número de mols (ou de partículas), k é a constante de Boltzmann e T a temperatura.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de p em relação a V a temperatura constante:
Para existir ponto crítico, precisaríamos ter
$$
-\frac{NkT}{V^2} = 0,
$$
mas o numerador NkT é sempre positivo para T>0 e V>0, e o denominador V^2>0, então a derivada nunca se anula.
mas o numerador NkT é sempre positivo para T>0 e V>0, e o denominador V^2>0, então a derivada nunca se anula.
Passo 5
Calculemos agora a segunda derivada para conferir que também não se anula:
Aqui também o resultado é sempre positivo para T>0 e V>0, logo não pode ser zero.
Passo 6
Como não há valor de V que satisfaça simultaneamente as condições de ponto crítico, concluímos que um gás ideal não possui ponto crítico nem, portanto, transição de fase.
Passo 7
Em termos físicos, a ausência de ponto de inflexão na curva p versus V de um gás ideal impede a coexistência de fases e, consequentemente, qualquer mudança de fase do tipo gás–líquido.
Resposta
Um gás ideal não pode ter transição de fase porque sua equação de estado p=NkT/V não permite satisfazer as condições matemáticas de ponto crítico (\partial p/\partial V=0 e \partial^2 p/\partial V^2=0) para nenhum valor de V.