Usando o enunciado de Kelvin-Planck da segunda lei da termodinâmica mostre que todos os ciclos motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios térmicos possuem o mesmo rendimento térmico.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar o enunciado de Kelvin–Planck da 2ª lei (que diz: “é impossível construir uma máquina térmica que, operando em ciclo, extraia calor de um único reservatório e converta todo esse calor em trabalho, sem gerar nenhum outro efeito”) para mostrar que, se você tem dois ciclos motores reversíveis entre os mesmos dois reservatórios térmicos, eles têm obrigatoriamente o mesmo rendimento. Isso é Termodinâmica, Segunda Lei, especialmente a parte de motores térmicos e irreversibilidade. Vamos precisar:
- Definir rendimento
de um motor. - Relembrar o que é um ciclo reversível.
- Aplicar o enunciado de Kelvin–Planck para “brincar” com dois motores hipotéticos e chegar à contradição caso rendimentos fossem diferentes.
Passo 2
Primeiro, lembra do rendimento térmico de um motor:
onde
é o calor absorvido do reservatório quente e
é o calor rejeitado ao frio.
– Motor reversível significa que você pode “inverter” o ciclo sem atrito nem dissipação, e ele funcionaria como refrigerador, trocando calor ao contrário.
– Enunciado de Kelvin–Planck: não existe motor que pegue calor de um só reservatório e entregue trabalho
sem outro efeito (tipo descarregar calor em outro lugar). Sacou?
– Motor reversível significa que você pode “inverter” o ciclo sem atrito nem dissipação, e ele funcionaria como refrigerador, trocando calor ao contrário.
– Enunciado de Kelvin–Planck: não existe motor que pegue calor
Passo 3
Agora, suponha por absurdo que existem dois motores reversíveis
e
entre os mesmos reservatórios com rendimentos diferentes, digamos
Isso quer dizer que, para um mesmo calor
extraído do quente, o motor
produz mais trabalho que o
. Vamos usar
como motor (entrega trabalho) e \emph{inverter}
para que ele funcione como bomba de calor, consumindo trabalho e transferindo calor do frio para o quente.
Passo 4
Escolhe
tal que
extraia exatamente esse calor do quente. O trabalho produzido por
é
Invertemos
fazendo com que ele consuma trabalho
e transfira calor do frio ao quente. Como
é reversível, se consumirmos
, ele vai sugar do frio
e jogar no quente
No balanço geral:
- Do reservatório quente,
tira e devolve . O saldo no quente é . - Do reservatório frio,
retira . - Trabalho líquido é
(escolhemos ).
Como
, dá
Logo
. Então
. Conclusão: o efeito líquido é extrair calor só do reservatório frio (
), entregar uma quantidade maior de calor só no quente e não produzir trabalho. Isso viola o enunciado de Kelvin–Planck, pois criamos um ciclo que converte todo o calor extraído de um único reservatório (o frio) em trabalho líquido nulo, mas ainda gera outra mudança (movimenta calor pro quente).
Passo 5
Como a suposição
levou à violação da 2ª Lei (Kelvin–Planck), ela é falsa. Pelo mesmo raciocínio,
também dá problema. Logo só pode ser
Ou seja: todos os ciclos reversíveis entre os mesmos dois reservatórios têm o mesmo rendimento térmico.
Resposta
Todos os ciclos motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios térmicos possuem o mesmo rendimento térmico
, independente do “projeto” do ciclo.