Usando o enunciado de Kelvin-Planck da segunda lei da termodinâmica mostre que todos os ciclos motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios térmicos possuem o mesmo rendimento térmico.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o enunciado de Kelvin–Planck da 2ª lei (que diz: “é impossível construir uma máquina térmica que, operando em ciclo, extraia calor de um único reservatório e converta todo esse calor em trabalho, sem gerar nenhum outro efeito”) para mostrar que, se você tem dois ciclos motores reversíveis entre os mesmos dois reservatórios térmicos, eles têm obrigatoriamente o mesmo rendimento. Isso é Termodinâmica, Segunda Lei, especialmente a parte de motores térmicos e irreversibilidade. Vamos precisar:
  • Definir rendimento de um motor.
  • Relembrar o que é um ciclo reversível.
  • Aplicar o enunciado de Kelvin–Planck para “brincar” com dois motores hipotéticos e chegar à contradição caso rendimentos fossem diferentes.

Passo 2

Primeiro, lembra do rendimento térmico de um motor:
eta = WQ1 = 1 - Q2Q1,
onde é o calor absorvido do reservatório quente e é o calor rejeitado ao frio.
– Motor reversível significa que você pode “inverter” o ciclo sem atrito nem dissipação, e ele funcionaria como refrigerador, trocando calor ao contrário.
– Enunciado de Kelvin–Planck: não existe motor que pegue calor de um só reservatório e entregue trabalho sem outro efeito (tipo descarregar calor em outro lugar). Sacou?

Passo 3

Agora, suponha por absurdo que existem dois motores reversíveis etaA > etaB e entre os mesmos reservatórios com rendimentos diferentes, digamos
Isso quer dizer que, para um mesmo calor extraído do quente, o motor produz mais trabalho que o . Vamos usar como motor (entrega trabalho) e \emph{inverter} para que ele funcione como bomba de calor, consumindo trabalho e transferindo calor do frio para o quente.

Passo 4

Escolhe WA = etaA,Q1 tal que Q2B = WBetaB = WAetaB extraia exatamente esse calor do quente. O trabalho produzido por Q1B = WB + Q2B é
WA = etaA Q1 > etaB Q1 ;;Longrightarrow;; WAetaB > Q1 ;;Longrightarrow;; Q2B > Q1
Invertemos fazendo com que ele consuma trabalho e transfira calor do frio ao quente. Como é reversível, se consumirmos , ele vai sugar do frio
e jogar no quente
No balanço geral:
  • Do reservatório quente, tira e devolve . O saldo no quente é .
  • Do reservatório frio, retira .
  • Trabalho líquido é (escolhemos ).
Como , dá
Logo . Então . Conclusão: o efeito líquido é extrair calor só do reservatório frio ( ), entregar uma quantidade maior de calor só no quente e não produzir trabalho. Isso viola o enunciado de Kelvin–Planck, pois criamos um ciclo que converte todo o calor extraído de um único reservatório (o frio) em trabalho líquido nulo, mas ainda gera outra mudança (movimenta calor pro quente).

Passo 5

Como a suposição etaA = etaB levou à violação da 2ª Lei (Kelvin–Planck), ela é falsa. Pelo mesmo raciocínio, também dá problema. Logo só pode ser
Ou seja: todos os ciclos reversíveis entre os mesmos dois reservatórios têm o mesmo rendimento térmico.

Resposta

Todos os ciclos motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios térmicos possuem o mesmo rendimento térmico , independente do “projeto” do ciclo.

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