4 Usando um gás ideal como fluido de trabalho, mostre que a eficiência térmica de um ciclo Ericsson é idêntica à eficiência de um ciclo de Carnot operando entre os mesmos limites de temperatura.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando um gás ideal como fluido de trabalho, que a eficiência térmica de um ciclo Ericsson é igual à eficiência de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas de fonte quente T_H e fonte fria T_L. O ciclo Ericsson é composto de quatro processos reversíveis:
  1. Compressão isoterma em T_H ( 1\to 2)
  2. Resfriamento isobárico de T_H a T_L com regenerator ( 2\to 3)
  3. Expansão isoterma em T_L ( 3\to 4)
  4. Aquecimento isobárico de T_L a T_H com regenerator ( 4\to 1)
Vamos (i) usar a equação de estado PV=nR T para relacionar volumes nas etapas isobáricas com regenerator perfeito, (ii) calcular o calor recebido em 1\to2 e o calor rejeitado em 3\to4, e (iii) obter \eta=W/Q_\text{in}.

Passo 2

Nas etapas isobáricas reversíveis com regenerator perfeito não há troca de calor com o meio externo, apenas entre o gás e o regenerator. Podemos usar a equação de estado para as mudanças de volume:
– Para 2\to3 (pressão P_2 constante; resfriamento de T_H a T_L):
P_2 V_2 = nR\,T_H \quad\text{e}\quad P_2 V_3 = nR\,T_L
\implies \frac{V_3}{V_2} = \frac{T_L}{T_H}.
– Para 4\to1 (pressão P_1 constante; aquecimento de T_L a T_H):
P_1 V_4 = nR\,T_L \quad\text{e}\quad P_1 V_1 = nR\,T_H
\implies \frac{V_4}{V_1} = \frac{T_L}{T_H}.
Dessas duas razões segue
\frac{V_3}{V_4} = \frac{V_2}{V_1}.

Passo 3

Calculemos agora os calores trocados apenas nas etapas isotermais (as únicas que trocam calor com reservatórios externos):
– Na isoterma quente 1\to2 a T_H, o gás recebe
Q_H = nR\,T_H\, \ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr).
– Na isoterma fria 3\to4 a T_L, o gás rejeita
Q_C = nR\,T_L\, \ln\!\bigl(\tfrac{V_4}{V_3}\bigr).
Usando \tfrac{V_4}{V_3}=\tfrac{V_1}{V_2} obtemos
Q_C = nR\,T_L\, \ln\!\bigl(\tfrac{V_1}{V_2}\bigr) = -\,nR\,T_L\, \ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr)
ou seja, em módulo Q_C = nR\,T_L\,\ln(V_2/V_1).

Passo 4

O trabalho líquido do ciclo é
W = Q_H - Q_C = nR\,\bigl(T_H - T_L\bigr)\,\ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr).
A eficiência térmica é
\eta = \frac{W}{Q_H} = \frac{Q_H - Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{T_L}{T_H}.

Resposta

\eta_{\text{Er = Carnot}} = 1 - \frac{T_L}{T_H}.

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