9 Um avião turbojato voa com uma velocidade de 850 pés/s em uma altitude onde o ar está a 5 psia e -40^{\circ} \mathrm{F}. O compressor tem uma razão de pressão de 10 e a temperatura dos gases na entrada da turbina é 2000^{\circ} \mathrm{F}. O ar entra no compressor a uma taxa de 100 \mathrm{lbm} / \mathrm{s}. Utilizando as premissas padrão de ar frio, determine (a) a temperatura e a pressão dos gases na saída da turbina, (b) a velocidade dos gases na saída do bocal e (c) a eficiência propulsora do ciclo.

Passo 1

O enunciado descreve um turbojato operando em altitude onde o ar está a p_{a}=5\\ \text{psia} e T_{a}=-40^\circ\mathrm{F}. A velocidade de voo é V_{0}=850\\ \mathrm{ft/s}. A razão de pressão do compressor é \pi_{c}=10 e a temperatura total na entrada da turbina é T_{t4}=2000^\circ\mathrm{F}. A vazão mássica de ar é \dot m=100\\ \mathrm{lbm/s}. Vamos usar o ar-frio padrão \gamma=1,4, R=1716\\ \mathrm{ft^2/s^2\,per\,^\circ R} para determinar:
(a) a temperatura total e a pressão total dos gases na saída da turbina;
(b) a velocidade dos gases na saída do bocal;
(c) a eficiência propulsora do ciclo.

Passo 2

Calculamos a velocidade do som em voo e o número de Mach
a_{0}=\sqrt{\gamma\,R\,T_{a,R}} \quad\text{com}\quad T_{a,R}=T_{a} + 459{,}67 = 419{,}67\\ ^\circ R
a_{0}=\sqrt{1,4\cdot1716\cdot419{,}67}\approx1004{,}2\\ \mathrm{ft/s} \quad\Rightarrow\quad M_{0}=\frac{V_{0}}{a_{0}}\approx\frac{850}{1004{,}2}=0{,}846
A partir daí obtemos as condições totais à entrada do compressor (estação 2), assumindo difusor isentrópico:
T_{t2}=T_{a,R}\Bigl(1+\frac{\gamma-1}{2}M_{0}^2\Bigr) =419{,}67\bigl(1+0{,}2\cdot0{,}846^2\bigr) \approx480{,}0\\ ^\circ R
p_{t2}=p_{a}\Bigl(1+\frac{\gamma-1}{2}M_{0}^2\Bigr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} =5\,(1+0{,}2\cdot0{,}846^2)^{3{,}5} \approx7{,}98\\ \text{psia}

Passo 3

Compressão isentrópica de razão de pressão \pi_{c}=10:
p_{t3}=\pi_{c}\,p_{t2}=10\cdot7{,}98=79{,}8\\ \text{psia}
T_{t3}=T_{t2}\,\pi_{c}^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =480{,}0\cdot10^{0{,}286} \approx926{,}4\\ ^\circ R

Passo 4

A combustão eleva a temperatura total para
T_{t4}=2000^\circ\mathrm{F}+459{,}67=2459{,}7\\ ^\circ R
e mantém a pressão total (pressão do queimador é aproximadamente isobárica),
p_{t4}=p_{t3}=79{,}8\\ \text{psia}.

Passo 5

No turbo-alternador (turbina) o trabalho extraído deve igualar o trabalho de compressão:
c_{p}\,(T_{t4}-T_{t5})=c_{p}\,(T_{t3}-T_{t2}) \quad\Longrightarrow\quad T_{t5}=T_{t4}-(T_{t3}-T_{t2})
Substituindo
T_{t5}=2459{,}7 - (926{,}4 - 480{,}0) =2459{,}7 - 446{,}4 \approx2013{,}3\\ ^\circ R
e a pressão total na saída da turbina (antes do bocal) é
p_{t5}=p_{t4}=79{,}8\\ \text{psia}.

Passo 6

O bocal expande de p_{t5} até p_{e}=p_{a}. Primeiro a temperatura estática de saída:
T_{e}=T_{t5}\Bigl(\frac{p_{a}}{p_{t5}}\Bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =2013{,}3\,(5/79{,}8)^{0{,}286} \approx912\\ ^\circ R
O calor específico c_{p}=\tfrac{\gamma R}{\gamma-1}= \tfrac{1{,}4\cdot1716}{0{,}4}\approx6006\\ \mathrm{ft^2/s^2\,per\,^\circ R}. Assim, a velocidade de saída do jato é
v_{e}=\sqrt{2\,c_{p}\,\bigl(T_{t5}-T_{e}\bigr)} =\sqrt{2\cdot6006\cdot(2013{,}3-912)} \approx3636\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 7

A eficiência propulsora é
\eta_{p}=\frac{2\,V_{0}}{V_{0}+v_{e}} =\frac{2\cdot850}{850+3636} \approx0{,}38\quad(38\%)

Resposta

(a) T_{t5}\approx2013{,}3\\ ^\circ R \approx1554^\circ\mathrm{F}, p_{t5}=79{,}8\\ \mathrm{psia}.
(b) v_{e}\approx3636\\ \mathrm{ft/s}.
(c) \eta_{p}\approx0{,}38 (38 %).

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