Usando o teorema da Seção 21, mostre que cada uma dessas funções não é analítica em ponto algum.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é analítica em ponto algum, usando o Teorema da Seção 21, que diz: se
é diferenciável num ponto então as derivadas parciais de
e
existem, são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Escrevemos
e separamos parte real e imaginária de
. Temos
logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem
e
Não existe valor de
que satisfaça simultaneamente
e
. Portanto, as equações de Cauchy–Riemann não se cumprem em nenhum ponto
. Pela Seção 21, isso implica que
não é diferenciável em ponto algum, e portanto não é analítica em lugar nenhum.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.