Use a definição de limites (2) da Seção 15 para provar que
\lim _{z \rightarrow z_{0}} \bar{z}=\overline{z_{0}};

Passo 1

O enunciado pede para provar que, usando a definição ε–δ de limite para funções de variável complexa, vale
\lim_{z\to z_{0}}\overline{z} \;=\;\overline{z_{0}}.
Este é um exercício de limites em ℂ e vamos precisar da definição:
\text{Para toda }\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\text{tal que, se }0<|z-z_{0}|<\delta,\;\text{então }|f(z)-L|<\varepsilon.ã

Passo 2

Definimos a função f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} por f(z)=\overline{z}. Queremos mostrar que, ao tomar L=\overline{z_{0}}, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|z-z_{0}|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\overline{z}-\overline{z_{0}}\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Observamos a propriedade fundamental do módulo em conjugação: para qualquer w\in\mathbb{C},
\bigl|\overline{w}\bigr| \;=\;|w|.
Aplicando com w = z - z_{0}, temos
\bigl|\overline{z}-\overline{z_{0}}\bigr| =\bigl|\overline{\,z-z_{0}\,}\bigr| =|\,z-z_{0}\,|.

Passo 4

Dada qualquer \varepsilon>0, basta escolher
\delta=\varepsilon.
Então, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, obtemos
\bigl|\overline{z}-\overline{z_{0}}\bigr| =|z-z_{0}| <\delta =\varepsilon.
Isso satisfaz exatamente a definição de limite.

Resposta

\lim_{z\to z_{0}}\overline{z} \;=\;\overline{z_{0}}.

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