Use o método do Exemplo 2 da Seção 19 para mostrar que f^{\prime}(z) não existe em ponto z algum se
f(z)=\operatorname{Im}(z)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{R},\quad f(z)=\Im(z)
não é diferenciável em nenhum ponto de \mathbb{C}. O conteúdo aqui é a definição de derivada complexa:
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},
devemos verificar esse limite tomando h em direções diferentes, conforme feito no Exemplo 2 da Seção 19.

Passo 2

Vamos aproximar h real, ou seja, h\in\mathbb{R}. Escrevendo z=x+iy e h\in\mathbb{R}, temos
f(z+h)=\Im\bigl((x+iy)+h\bigr)=\Im(x+h+iy)=y.
Logo
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{y - y}{h} =0.
Portanto, ao aproximar por valores reais de h, o quociente tende a 0.

Passo 3

Agora aproximamos h puramente imaginário, digamos h=it com t\in\mathbb{R} e t\to0. Então
f(z+it)=\Im\bigl((x+iy)+it\bigr)=\Im(x+i(y+t))=y+t.
O quociente de diferenças fica
\frac{f(z+it)-f(z)}{it} =\frac{(y+t)-y}{it} =\frac{t}{it} =\frac{1}{i} =-\,i.
Assim, ao aproximar por valores imaginários de h, o quociente tende a -\,i.

Passo 4

Os dois limites são diferentes:
\lim_{h\in\mathbb{R},\,h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{h=it,\,t\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=-\,i.
Como não há unicidade do limite, a derivada complexa f'(z) não existe para nenhum z\in\mathbb{C}.

Resposta

A função f(z)=\Im(z) não é diferenciável em ponto algum de \mathbb{C}.

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