Use o método do Exemplo 2 da Seção 19 para mostrar que
não existe em ponto
algum se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é diferenciável em nenhum ponto de
. O conteúdo aqui é a definição de derivada complexa:
devemos verificar esse limite tomando
em direções diferentes, conforme feito no Exemplo 2 da Seção 19.
Passo 2
Vamos aproximar
real, ou seja,
. Escrevendo
e
, temos
Logo
Portanto, ao aproximar por valores reais de
, o quociente tende a
.
Passo 3
Agora aproximamos
puramente imaginário, digamos
com
e
. Então
O quociente de diferenças fica
Assim, ao aproximar por valores imaginários de
, o quociente tende a
.
Passo 4
Os dois limites são diferentes:
Como não há unicidade do limite, a derivada complexa
não existe para nenhum
.
Resposta
A função
não é diferenciável em ponto algum de
.