Use o teorema da seção 17 para mostrar que
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{4 z^{2}}{(z-1)^{2}}=4

Passo 1

O problema pede para calcular
\lim_{z \to \infty} \frac{4\,z^2}{(z-1)^2}
usando o Teorema da seção 17, que afirma:
se definirmos w = 1/z, então
\lim_{z \to \infty} f(z) = L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{w \to 0} f\bigl(1/w\bigr) = L,
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Fazendo a troca de variável w = 1/z, temos z = 1/w e, quando z \to \infty, segue w \to 0. Assim,
\frac{4\,z^2}{(z-1)^2} = \frac{4\,(1/w)^2}{\bigl((1/w)-1\bigr)^2} = \frac{4/w^2}{\bigl((1-w)/w\bigr)^2} = \frac{4}{(1 - w)^2}.

Passo 3

Como a função \displaystyle \frac{4}{(1 - w)^2} é contínua em w=0,
\lim_{w \to 0} \frac{4}{(1 - w)^2} = \frac{4}{1^2} = 4.
Pelo Teorema da seção 17, esse mesmo valor é o limite quando z \to \infty.

Resposta

4

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