Use the Peng-Robinson EOS to estimate the fugac ity of butane at each of the following conditions (find both fL and fV if possible).
T=500 K, P=10 bar.
T=500 K, P=10 bar.
Passo 1
O enunciado pede: usar a equação de estado de Peng–Robinson para estimar a fugacidade do butano em
e
. Se possível, encontrar
e
. Informação relevante fornecida ou necessária (vou adotá‑la a partir de tabelas padrão para n‑butano):
,
.
Valores de propriedades críticas e acentricidade que usarei: ,
,
.
Vou calcular o fator de compresibilidade resolvendo a cúbica de Peng–Robinson e então o coeficiente de fugacidade
para obter
. Se a cúbica tiver apenas uma raiz real, há apenas uma fase (nesse caso não separam‑se
e
).
Valores de propriedades críticas e acentricidade que usarei:
Vou calcular o fator de compresibilidade
Passo 2
Apresentação da equação de Peng–Robinson e definição das constantes (com explicação didática). A forma comumente usada é:
onde:
-
é a pressão ( ), -
é a temperatura ( ), -
é o volume molar ( ), -
é a constante universal dos gases na unidade compatível: , -
e são parâmetros dependentes de e , -
é um fator dependente da temperatura reduzida e da acentricidade.
As fórmulas para
,
,
e
são:
Explicação rápida:
mede atração intermolecular (unidades
),
é volume de co‑volume (unidades
).
corrige
com a temperatura.
Para manipulação numérica é conveniente trabalhar com a cúbica em
(fator de compressibilidade):
onde
O coeficiente de fugacidade para Peng–Robinson é dado por:
Depois
.
Passo 3
Calcular
,
e
passo a passo (com pequenas explicações).
Calcule
(aprox.).
Agora :
Agora
Então
Passo 4
Calcular
e
(atenção às unidades; uso
).
Explicação:
normalmente é da ordem de dezenas e
da ordem de 0,01–0,1 L/mol para compostos leves — faz sentido físico.
Passo 5
Calcular
e
que aparecem na cúbica em
:
Calcule o denominador:
. Então
Passo 6
Escrever a cúbica com os valores numéricos (mostrando cada coeficiente):
Substituindo
e
:
Logo a cúbica fica numericamente
Passo 7
Resolver a cúbica para
. Comentário didático: para
geralmente há uma única raiz real (fase única). Faço uma busca numérica rápida (teste em
e
e interpolação) para achar a raiz real:
- Avaliando o polinómio em
obtém‑se 0{,}05806 (positivo). - Em
obtém‑se 0{,}03134 (negativo).
Assim há uma raiz em (0{,}9;1). Refinando (método da secante/bissecção) obtemos
Interpretação: apenas uma raiz real → apenas uma fase (supercrítica a
), portanto não existem
e
distintos neste ponto; existe um único valor de fugacidade do fluido.
Passo 8
Calcular o coeficiente de fugacidade
usando a expressão de Peng–Robinson e os números obtidos. A fórmula repetida:
Substituindo
,
,
:
-
. -
→ . - Assim
. - Calcular o fator
: com ,
- Calcular o logaritmo dentro:
, então .
, então .
Razão→ . - Produto
.
Portanto
Logo
Passo 9
Finalmente a fugacidade é
Observação final (didática e de interpretação): como
obtivemos apenas uma raiz real da cúbica → apenas uma fase (fluido supercrítico) no ponto dado. Não é possível separar
e
porque não há coexistência líquido‑vapor a
.