Use the Peng-Robinson EOS to estimate the fugac ity of butane at each of the following conditions (find both fL and fV if possible).
T=500 K, P=10 bar.

Passo 1

O enunciado pede: usar a equação de estado de Peng–Robinson para estimar a fugacidade do butano em T=500\\ \text{K} e P=10\\ \text{bar}. Se possível, encontrar f_L e f_V. Informação relevante fornecida ou necessária (vou adotá‑la a partir de tabelas padrão para n‑butano):
\;T=500\\ \text{K}, \;P=10\\ \text{bar}.
Valores de propriedades críticas e acentricidade que usarei: \;T_c=425{,}2\\ \text{K}, \;P_c=37{,}96\\ \text{bar}, \;\omega=0{,}200.
Vou calcular o fator de compresibilidade Z resolvendo a cúbica de Peng–Robinson e então o coeficiente de fugacidade \varphi para obter f=\varphi P. Se a cúbica tiver apenas uma raiz real, há apenas uma fase (nesse caso não separam‑se f_L e f_V).

Passo 2

Apresentação da equação de Peng–Robinson e definição das constantes (com explicação didática). A forma comumente usada é:
P=\frac{R T}{V-b}-\frac{a\alpha}{V(V+b)+b(V-b)}
onde:
  • P é a pressão ( \text{bar}),
  • T é a temperatura ( \text{K}),
  • V é o volume molar ( \text{L mol}^{-1}),
  • R é a constante universal dos gases na unidade compatível: R=0{,}08314\\ \text{L·bar·mol}^{-1}\text{·K}^{-1},
  • a e b são parâmetros dependentes de T_c e P_c,
  • \alpha é um fator dependente da temperatura reduzida e da acentricidade.
As fórmulas para a, b, m e \alpha são:
a = 0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c},\qquad b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c},
m = 0{,}37464 + 1{,}54226\omega - 0{,}26992\omega^2,
\alpha = \bigl(1 + m(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2,\qquad T_r=\frac{T}{T_c}.
Explicação rápida: a mede atração intermolecular (unidades \text{bar·L}^2\text{·mol}^{-2}), b é volume de co‑volume (unidades \text{L·mol}^{-1}). \alpha corrige a com a temperatura.
Para manipulação numérica é conveniente trabalhar com a cúbica em Z (fator de compressibilidade):
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0,
onde
A=\frac{a\alpha P}{(R T)^2},\qquad B=\frac{bP}{R T}.
O coeficiente de fugacidade para Peng–Robinson é dado por:
\ln\varphi = Z-1-\ln(Z-B)-\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).
Depois \;f=\varphi P.

Passo 3

Calcular T_r, m e \alpha passo a passo (com pequenas explicações).
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{500}{425{,}2}=1{,}176\quad(\text{sem unidade}).
Calcule \sqrt{T_r}=1{,}0845 (aprox.).
Agora m:
m=0{,}37464+1{,}54226\cdot 0{,}200-0{,}26992\cdot(0{,}200)^2 =0{,}672295\\ (\text{aprox.}).
Então
\alpha=\bigl(1+m(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2 =\bigl(1+0{,}672295(1-1{,}0845)\bigr)^2 \approx(0{,}943233)^2=0{,}8897.

Passo 4

Calcular a e b (atenção às unidades; uso R=0{,}08314\\ \text{L·bar·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}).
a=0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c} =0{,}45724\frac{(0{,}08314)^2(425{,}2)^2}{37{,}96} \approx 15{,}05\\ \text{bar·L}^2\text{·mol}^{-2}.
b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c} =0{,}07780\frac{0{,}08314\cdot 425{,}2}{37{,}96} \approx 0{,}07242\\ \text{L·mol}^{-1}.
Explicação: a normalmente é da ordem de dezenas e b da ordem de 0,01–0,1 L/mol para compostos leves — faz sentido físico.

Passo 5

Calcular A e B que aparecem na cúbica em Z:
a\alpha = 15{,}05\cdot 0{,}8897 \approx 13{,}39\\ \text{bar·L}^2\text{·mol}^{-2}.
A=\frac{a\alpha P}{(R T)^2}=\frac{13{,}39\cdot 10}{(0{,}08314\cdot 500)^2}.
Calcule o denominador: (R T)^2=(0{,}08314\cdot500)^2=(41{,}57)^2\approx1728{,}75. Então
A\approx\frac{133{,}9}{1728{,}75}=0{,}07744.
B=\frac{bP}{R T}=\frac{0{,}07242\cdot 10}{0{,}08314\cdot 500}=\frac{0{,}7242}{41{,}57}\approx0{,}01743.

Passo 6

Escrever a cúbica com os valores numéricos (mostrando cada coeficiente):
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0.
Substituindo A e B:
1-B=0{,}98257,
A-3B^2-2B=0{,}07744-3(0{,}01743)^2-2(0{,}01743)\approx0{,}04167,
AB-B^2-B^3\approx0{,}001040.
Logo a cúbica fica numericamente
Z^3-0{,}98257Z^2+0{,}04167Z-0{,}001040=0.

Passo 7

Resolver a cúbica para Z. Comentário didático: para T>T_c geralmente há uma única raiz real (fase única). Faço uma busca numérica rápida (teste em Z=1 e Z=0{,}9 e interpolação) para achar a raiz real:
  • Avaliando o polinómio em Z=1 obtém‑se +0{,}05806 (positivo).
  • Em Z=0{,}9 obtém‑se -0{,}03134 (negativo).
    Assim há uma raiz em (0{,}9;1). Refinando (método da secante/bissecção) obtemos
Z\approx 0{,}939\quad(\text{raiz real, única}).ú
Interpretação: apenas uma raiz real → apenas uma fase (supercrítica a T=500\\ \text{K}>T_c), portanto não existem f_L e f_V distintos neste ponto; existe um único valor de fugacidade do fluido.

Passo 8

Calcular o coeficiente de fugacidade \varphi usando a expressão de Peng–Robinson e os números obtidos. A fórmula repetida:
\ln\varphi = Z-1-\ln(Z-B)-\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).
Substituindo Z=0{,}939, A=0{,}07744, B=0{,}01743:
  • Z-1 = -0{,}061.
  • Z-B = 0{,}939-0{,}01743=0{,}92157 \ln(Z-B)\approx -0{,}0817.
  • Assim Z-1-\ln(Z-B)\approx -0{,}061 -(-0{,}0817)=0{,}0207.
  • Calcular o fator A/(2\sqrt{2}B): com \sqrt{2}=1{,}4142,
\frac{A}{2\sqrt{2}B}\approx\frac{0{,}07744}{2\cdot1{,}4142\cdot0{,}01743}\approx1{,}5709.
  • Calcular o logaritmo dentro:
    (1+\sqrt{2})B\approx2{,}4142\cdot0{,}01743\approx0{,}04207, então Z+(1+\sqrt{2})B\approx0{,}98107.
    (1-\sqrt{2})B\approx-0{,}4142\cdot0{,}01743\approx-0{,}00722, então Z+(1-\sqrt{2})B\approx0{,}93178.
    Razão \approx1{,}0529 \ln(\text{razão})\approx0{,}0516ã.
  • Produto \dfrac{A}{2\sqrt{2}B}\ln(\cdots)\approx1{,}5709\cdot0{,}0516\approx0{,}0810.
Portanto
\ln\varphi \approx 0{,}0207 - 0{,}0810 = -0{,}0603.
Logo
\varphi=\exp(-0{,}0603)\approx0{,}9415.

Passo 9

Finalmente a fugacidade é
f=\varphi P = 0{,}9415\cdot 10\\ \text{bar}\approx 9{,}42\\ \text{bar}.
Observação final (didática e de interpretação): como T>T_c obtivemos apenas uma raiz real da cúbica → apenas uma fase (fluido supercrítico) no ponto dado. Não é possível separar f_L e f_V porque não há coexistência líquido‑vapor a T=500\\ \text{K},\\ P=10\\ \text{bar}.

Resposta

f \approx 9{,}42\\ \text{bar} (fase única / supercrítica — não há f_L e f_V distintos).

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