Use the Peng-Robinson EOS to estimate the fugac ity of butane at each of the following conditions (find both fL and fV if possible).
T =400 K, P=1 bar
T =400 K, P=1 bar
Passo 1
O que o enunciado pede: estimar a fugacidade do butano nas condições
,
. Se for possível, encontrar tanto a fugacidade da fase líquida
quanto da fase vapor
.
Informações dadas e hipóteses usadas (valores tabulados para n-butano que vou usar):
Valores termodinâmicos para n-butano (valores de literatura/tabela):
Constante universal dos gases (no sistema L·bar·mol{-1}·K{-1}):
Obs.: usei os dados críticos e o fator acêntrico padrão para n-butano. A resolução segue a equação de estado de Peng–Robinson (PR) para obter coeficientes de fugacidade.
Passo 2
Apresentação da equação de Peng–Robinson e parâmetros necessários.
A equação de Peng–Robinson escreve-se em termos de
e
:
Os parâmetros
e
(com dependência de temperatura via
) são dados por
com
Para obtenção do coeficiente de fugacidade usa-se a forma adimensional:
O fator de compressibilidade
é raíz da cúbica de PR:
E o coeficiente de fugacidade
(PR) é dado por
A fugacidade é
.
Passo 3
Cálculo de
e
com números.
Primeiro
:
Razão reduzida e sua raiz:
Logo
Passo 4
Cálculo de
e
.
Usando os valores numéricos:
Primeiro calculei
.
Então
Então
e dividindo por
:
Multiplicando por
:
Para
:
Calculei
, então
Passo 5
Cálculo dos parâmetros adimensionais
e
(com
,
).
Passo 6
Montagem da cúbica em
com os coeficientes numéricos.
Os coeficientes da cúbica são:
Logo a equação é
Passo 7
Resolução numérica da cúbica (escolha das raízes e identificação de fase).
Avaliei a função em
e
:
portanto existe uma raiz entre
e
. Interpolando linearmente (método simples para localizar raíz aproximada) obtive
Para as condições dadas (pressão baixa,
), a cúbica apresenta apenas uma raiz real correspondente à fase vapor — não há raiz pequena típica de líquido saturado aqui. Assim só faz sentido computar
e
para a fase vapor.
Passo 8
Cálculo do coeficiente de fugacidade
para a raiz vaporal
.
Usando a fórmula
substituí
,
,
. Cálculos intermediários:
logo
Para o termo logarítmico grande:
As duas quantidades dentro do ln são
A razão é
e seu ln
. Multiplicando:
Portanto
Assim
Passo 9
Cálculo final da fugacidade do vapor e observação sobre a fase líquida.
A fugacidade do vapor é
Quanto à fugacidade do líquido: nas condições
e
não existe fase líquida de butano (a pressão de saturação do butano a
é bem maior que
); a cúbica forneceu apenas a raiz correspondente ao vapor. Portanto não é possível fornecer
nas condições dadas porque não há líquido estabelecido a
e
.