Use the Peng-Robinson EOS to estimate the fugac ity of butane at each of the following conditions (find both fL and fV if possible).
T =400 K, P=1 bar

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar a fugacidade do butano nas condições \;T=400\\ \text{K}, \;P=1\\ \text{bar}. Se for possível, encontrar tanto a fugacidade da fase líquida \;f_L quanto da fase vapor \;f_V.
Informações dadas e hipóteses usadas (valores tabulados para n-butano que vou usar):
T=400\\ \text{K},\quad P=1\\ \text{bar}.
Valores termodinâmicos para n-butano (valores de literatura/tabela):
T_c = 425{,}2\\ \text{K},\quad P_c = 37{,}96\\ \text{bar},\quad \omega = 0{,}200.
Constante universal dos gases (no sistema L·bar·mol{-1}·K{-1}):
R = 0{,}08314472\\ \text{L·bar·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}.
Obs.: usei os dados críticos e o fator acêntrico padrão para n-butano. A resolução segue a equação de estado de Peng–Robinson (PR) para obter coeficientes de fugacidade.

Passo 2

Apresentação da equação de Peng–Robinson e parâmetros necessários.
A equação de Peng–Robinson escreve-se em termos de a e b:
P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a(T)}{V(V+b)+b(V-b)}.
Os parâmetros a e b (com dependência de temperatura via \alpha) são dados por
a = 0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}\,\alpha(T), \qquad b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c},
com
\alpha(T) =\Bigl[1+\kappa\bigl(1-\sqrt{T/T_c}\bigr)\Bigr]^2, \qquad \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2.
Para obtenção do coeficiente de fugacidade usa-se a forma adimensional:
A=\frac{aP}{R^2T^2},\qquad B=\frac{bP}{RT}.
O fator de compressibilidade Z é raíz da cúbica de PR:
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0.
E o coeficiente de fugacidade \varphi (PR) é dado por
\ln\varphi = Z-1-\ln(Z-B) - \frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).
A fugacidade é \;f=\varphi P.

Passo 3

Cálculo de \kappa e \alpha com números.
Primeiro \kappa:
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}200) - 0{,}26992(0{,}200)^2 =0{,}37464 +0{,}308452 -0{,}0107968 =0{,}6722952\approx 0{,}67230.
Razão reduzida e sua raiz:
T_r = \frac{T}{T_c}=\frac{400}{425{,}2}=0{,}9409\quad\Rightarrow\quad \sqrt{T_r}=0{,}97006.
Logo
\alpha = \bigl[\,1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr]^2 =\bigl[1 + 0{,}6722952(1-0{,}97006)\bigr]^2 =\bigl[1 + 0{,}020128\bigr]^2 =1{,}04066\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Cálculo de a e b.
Usando os valores numéricos:
a = 0{,}45724\frac{R^2T_c^2}{P_c}\,\alpha
Primeiro calculei R^2T_c^2\approx 0{,}00691507\cdot 180\,795{,}04 \approx 1250{,}1977.
Então
0{,}45724\cdot 1250{,}1977 \approx 571{,}6404,
e dividindo por P_c=37{,}96\\ \text{bar}:
\frac{571{,}6404}{37{,}96}\approx 15{,}0590.
Multiplicando por \alpha:
a \approx 15{,}0590\cdot 1{,}04066 \approx 15{,}681\\ \text{L}^2\text{·bar·mol}^{-2}.
Para b:
b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}.
Calculei R T_c \approx 35{,}3547, então
b \approx 0{,}07780\cdot\frac{35{,}3547}{37{,}96}\approx 0{,}07243\\ \text{L·mol}^{-1}.

Passo 5

Cálculo dos parâmetros adimensionais A e B (com P=1\\ \text{bar}, T=400\\ \text{K}).
A=\frac{aP}{R^2T^2}=\frac{15{,}681\cdot 1}{(0{,}08314472)^2\cdot 400^2} \approx \frac{15{,}681}{1106{,}4112}\approx 0{,}01417.
B=\frac{bP}{RT}=\frac{0{,}07243\cdot 1}{0{,}08314472\cdot 400} \approx\frac{0{,}07243}{33{,}2579}\approx 0{,}002178.

Passo 6

Montagem da cúbica em Z com os coeficientes numéricos.
Os coeficientes da cúbica são:
1-B \approx 0{,}997822,
A-3B^2-2B \approx 0{,}01417 - 3(0{,}002178)^2 - 2(0{,}002178) \approx 0{,}009800,
AB - B^2 - B^3 \approx 0{,}01417\cdot0{,}002178 - (0{,}002178)^2 - (0{,}002178)^3 \approx 2{,}611\times 10^{-5}.
Logo a equação é
Z^3 - 0{,}997822\,Z^2 + 0{,}009800\,Z - 2{,}611\times 10^{-5} = 0.

Passo 7

Resolução numérica da cúbica (escolha das raízes e identificação de fase).
Avaliei a função em Z=1 e Z=0{,}98:
f(1)\approx 0{,}010952\\ (>0),\qquad f(0{,}98)\approx -0{,}007457\\ (<0),
portanto existe uma raiz entre 0{,}98 e 1. Interpolando linearmente (método simples para localizar raíz aproximada) obtive
Z_{\text{vapor}}\approx 0{,}98809 \\ (\text{aprox.}).
Para as condições dadas (pressão baixa, P\ll P_c), a cúbica apresenta apenas uma raiz real correspondente à fase vapor — não há raiz pequena típica de líquido saturado aqui. Assim só faz sentido computar \varphi e f para a fase vapor.

Passo 8

Cálculo do coeficiente de fugacidade \varphi para a raiz vaporal Z.
Usando a fórmula
\ln\varphi = Z-1-\ln(Z-B) - \frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln\!\left(\frac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right),
substituí Z=0{,}98809, A=0{,}01417, B=0{,}002178. Cálculos intermediários:
Z-1 = -0{,}01191,
\ln(Z-B)=\ln(0{,}98809-0{,}002178)=\ln(0{,}985912)\approx -0{,}01417,
logo Z-1-\ln(Z-B)\approx -0{,}01191 - (-0{,}01417)=0{,}002263.
Para o termo logarítmico grande:
\frac{A}{2\sqrt{2}B}\approx \frac{0{,}01417}{2\cdot 1{,}41421356\cdot 0{,}002178}\approx 2{,}301.
As duas quantidades dentro do ln são
Z+(1+\sqrt{2})B\approx 0{,}98809 + 2{,}41421356\cdot 0{,}002178 \approx 0{,}993348,
Z+(1-\sqrt{2})B\approx 0{,}98809 - 0{,}41421356\cdot 0{,}002178 \approx 0{,}987188.
A razão é \approx 1{,}006275 e seu ln \approx 0{,}006256. Multiplicando:
\frac{A}{2\sqrt{2}B}\ln(\cdots)\approx 2{,}301\cdot 0{,}006256 \approx 0{,}014387.
Portanto
\ln\varphi \approx 0{,}002263 - 0{,}014387 = -0{,}012124.
Assim
\varphi = e^{-0{,}012124}\approx 0{,}98794.

Passo 9

Cálculo final da fugacidade do vapor e observação sobre a fase líquida.
A fugacidade do vapor é
f_V = \varphi\,P = 0{,}98794 \cdot 1\\ \text{bar} \approx 0{,}98794\\ \text{bar}.
Quanto à fugacidade do líquido: nas condições \;T=400\\ \text{K} e \;P=1\\ \text{bar} não existe fase líquida de butano (a pressão de saturação do butano a 400\\ \text{K} é bem maior que 1\\ \text{bar}); a cúbica forneceu apenas a raiz correspondente ao vapor. Portanto não é possível fornecer f_L nas condições dadas porque não há líquido estabelecido a 1\\ \text{bar} e 400\\ \text{K}.

Resposta

f_V \approx 0{,}98794\\ \text{bar}
f_L: não aplicável — não há fase líquida de butano em T=400\\ \text{K}, P=1\\ \text{bar}.

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