Use the Peng-Robinson EOS to estimate the fugac ity of butane at each of the following conditions (find both fL and fV if possible).
T=300 K, P=0.5 bar
T=300 K, P=0.5 bar
Passo 1
O enunciado pede: estimar a fugacidade do n-butano nas condições
e
. Quer-se tanto
(fugacidade da fase líquida) quanto
(fugacidade da fase vapor), se possível.
Informações dadas: ,
. Vou usar a equação de estado de Peng–Robinson para obter o coeficiente de fugacidade e então a fugacidade.
Informações dadas:
Passo 2
Breve explicação do método (passo a passo didático):\n
- Fugacidade
relaciona-se com a pressão real através do coeficiente de fugacidade : . O objetivo é calcular a partir da solução cúbica em (fator de compressibilidade) da equação de Peng–Robinson e usar a fórmula padrão para .\n - Parâmetros da Peng–Robinson e fórmulas que vamos usar:\n
A equação cúbica em
(forma usual da PR) é
Após obter as raízes reais
, o coeficiente de fugacidade
para a raiz escolhida é dado por
- Explicação das variáveis:
é a constante dos gases, são propriedades críticas e fator acêntrico da substância; é o fator de compressibilidade (uma raiz da cúbica). Para condições onde existem duas raízes reais físicas (uma líquida pequena e uma vapor grande ) podemos calcular e separadamente. Se houver apenas uma raiz real, significa que apenas uma fase (tipicamente vapor) é descrita pela EOS naquele ponto.
Passo 3
Dados do n-butano (valores padrão para cálculo):\n
Constante dos gases (unidades compatíveis com bar e L/mol):
Dados usados para
e
.
Passo 4
Cálculo de
,
,
,
,
:\n
Agora
e
:
Passo 5
Cálculo de
e
(usando
e
):\n
Montamos a cúbica em
:
Substituindo numericamente:
Passo 6
Resolução da cúbica para
(procedimento numérico explicado de forma simples):\n
Com e
pequenos, esperamos
próximo de
(comportamento gás ideal). Avaliando a cúbica em alguns pontos achamos a raiz real próxima a
. (Mostro uma pequena busca:
,
,
; interpolando chega-se a
.)\n
Análise de raízes: para estes valores de e
obtivemos apenas uma raiz real física
. Não há uma raiz pequena (líquida) distinta — isto indica que, segundo a EOS nas condições dadas, existe apenas a fase vapor estável/descrita pela EOS (fisicamente: a pressão
é menor que a pressão de saturação de n-butano a
, então não há líquido em equilíbrio).
Com
Análise de raízes: para estes valores de
Passo 7
Cálculo do coeficiente de fugacidade
para a raiz vapor
:\n
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo
,
,
:\n
logo os dois primeiros termos dão
Calcule o fator multiplicador:
Argumento do logaritmo:
Multiplicando:
Agora
Finalmente a fugacidade do vapor:
Passo 8
Conclusão física sobre
: como a equação cúbica forneceu apenas uma raiz real (a raiz de
obtida é a de vapor) não existe aqui uma raiz líquida distinta que permita calcular
usando a PR EOS nas condições fornecidas — isto coincide com a expectativa física: a
e
o sistema está na região de vapor (pressão abaixo da pressão de saturação do n-butano a 300 K). Portanto não é possível calcular
nesta condição porque não há fase líquida em equilíbrio.