Utilizando o conceito de fasores, calcule:
10^{*} \cos (50 t-\pi / 3)+12^{*} \cos \left(50 t+30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma de dois sinais senoidais de mesma frequência usando fasores. Em outras palavras, vamos transformar
10\cos\bigl(50t - \tfrac{\pi}{3}\bigr) \quad\text{e}\quad 12\cos\bigl(50t + 30^\circ\bigr)
em fasores complexos, somá-los e converter de volta para a forma \cos(50t+\varphi).

Passo 2

Cada termo vira um fasor no domínio complexo:
\tilde V_1 = 10\angle\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr), \qquad \tilde V_2 = 12\angle\bigl(+30^\circ\bigr) = 12\angle\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 3

Somamos os fasores componente a componente. Primeiro extraímos as partes real e imaginária:
\Re\{\tilde V\} = 10\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr) + 12\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = 10\cdot\tfrac12 + 12\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 5 + 6\sqrt3,
\Im\{\tilde V\} = 10\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr) + 12\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = 10\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) + 12\cdot\tfrac12 = -5\sqrt3 + 6.

Passo 4

A amplitude resultante é
R = \sqrt{\bigl(5 + 6\sqrt3\bigr)^2 + \bigl(-5\sqrt3 + 6\bigr)^2} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}.
A fase é
\varphi = \atan\!\Bigl(\frac{\Im\{\tilde V\}}{\Re\{\tilde V\}}\Bigr) = \atan\!\Bigl(\frac{6 - 5\sqrt3}{5 + 6\sqrt3}\Bigr) \approx -0{,}1717\\ \text{rad}\quad(\approx -9{,}84^\circ).

Resposta

10\cos\bigl(50t - \tfrac{\pi}{3}\bigr) + 12\cos\bigl(50t + 30^\circ\bigr) = 2\sqrt{61}\,\cos\bigl(50t - 0{,}1717\bigr).

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