Utilizando o conceito de fasores, calcule:
20^{*} \cos \left(\omega t-30^{\circ}\right)+40^{*} \cos \left(\omega t+60^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para somar dois termos harmônicos de mesma frequência usando fasores:
20 \cos\bigl(\omega t - 30^\circ\bigr) \quad\text{e}\quad 40 \cos\bigl(\omega t + 60^\circ\bigr).
O conteúdo aqui é representação de sinais senoidais por fasores, soma vetorial no plano complexo e reconversão ao domínio do tempo.

Passo 2

Convertemos cada termo em seu fasor correspondente (na forma polar):
\underline{V_1} = 20\angle{-30^\circ}, \quad \underline{V_2} = 40\angle{60^\circ}.
Estamos usando a convenção de que o sinal no tempo é \Re\{\underline{V}e^{j\omega t}\}.

Passo 3

Passamos os fasores para a forma retangular somando-os no plano complexo.
\underline{V_1} = 20\bigl(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)\bigr) = 20\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2} - j\tfrac12\bigr) = 10\sqrt3 - j\,10,
\underline{V_2} = 40\bigl(\cos(60^\circ)+j\sin(60^\circ)\bigr) = 40\bigl(\tfrac12 + j\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = 20 + j\,20\sqrt3.
Somando:
\underline{V} = \underline{V_1} + \underline{V_2} = \bigl(10\sqrt3 + 20\bigr) + j\bigl(-10 + 20\sqrt3\bigr).

Passo 4

Calculamos as coordenadas numéricas usando \sqrt3\approx1{,}732:
\Re\{\underline{V}\}=10\cdot1{,}732 + 20 = 17{,}32 + 20 = 37{,}32,
\Im\{\underline{V}\}=-10 + 20\cdot1{,}732 = -10 + 34{,}64 = 24{,}64.
O módulo e o argumento do fasor resultante são
|\underline{V}| = \sqrt{37{,}32^2 + 24{,}64^2} \approx 44{,}72,
\arg(\underline{V}) = \arctan\!\bigl(\tfrac{24{,}64}{37{,}32}\bigr) \approx 33{,}4^\circ.

Passo 5

Voltamos ao domínio do tempo:
v(t) = \Re\{\underline{V}e^{j\omega t}\} = 44{,}72\cos\bigl(\omega t + 33{,}4^\circ\bigr).

Resposta

44{,}72\cos\bigl(\omega t + 33{,}4^\circ\bigr)

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