(Valor: 0,25) - Um volume de
de ar a 500 kPa expande isotermicamente em um conjunto cilindro-pistão, até a pressão de 100 kPa . Qual o trabalho? Represente o processo e o trabalho no diagrama p-v. Dica: note que com temperatura constante, m R T também é constante.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho e a representação no diagrama
-
:
- Volume específico inicial:
(peguei este dado do enunciado). - Pressão inicial:
(peguei este dado do enunciado). - Pressão final:
(peguei este dado do enunciado). - O processo é isotérmico (temperatura constante), indicado no enunciado.
O que se pede:
- Calcular o trabalho realizado durante a expansão.
- Representar o processo e o trabalho no diagrama
- .
Observação importante: como o enunciado fornece volume em
, os valores referem-se a volume específico; portanto o trabalho que vamos calcular será o trabalho específico (por unidade de massa), isto é,
em
.
Passo 2
Relembrando a relação fundamental para gás ideal em forma específica (por massa):
onde
-
é a pressão (em ou ), -
é o volume específico (em ), -
é a constante específica do gás (para o ar, mas não precisaremos do seu valor numérico), -
é a temperatura absoluta (em K).
Num processo isotérmico temos
constante, logo
constante. Em particular vale
Essa igualdade permite calcular
sem saber
nem
.
Passo 3
Calcular o volume específico final
usando
:
Substituindo os números (atenção às unidades; aqui usamos
e
, consistentes entre si):
Passo 4
Expressão para o trabalho específico em um processo quasiestático unidimensional:
Para o isotérmico temos
, então
. Substituindo na integral:
Aqui
é o trabalho específico (energia por unidade de massa). Explicando: a integral de
é o logaritmo natural
, por isso aparece
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos na fórmula
.
Primeiro calculemos o argumento do logaritmo:
Primeiro calculemos o argumento do logaritmo:
Portanto
Substituindo
. Lembre que
, logo a unidade resultante é
. Assim
Passo 6
Avaliar numericamente usando
:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
Interpretação física e sinal: como o processo é uma expansão, o gás realiza trabalho sobre o entorno; nesse convênio de sinais estamos apresentando o trabalho realizado pelo gás como positivo, logo
. Se fosse pedido o trabalho feito sobre o gás, o sinal seria negativo.
Passo 7
Como representar no diagrama
-
:
- O processo isotérmico se representa por uma ramo hiperbólico no plano
versus , dado por . - Marcar no gráfico os dois pontos:
e — peguei estes valores dos cálculos anteriores. - A curva vai de
(à esquerda) até (à direita), com decrescendo. - O trabalho específico
é a área sob essa curva entre e ; para desenhar, sombreie a região entre a curva e o eixo (linha horizontal) desde até . Essa área (em ) corresponde ao valor calculado acima.
Passo 8
Observações finais e dica para prova:
- Não foi necessário conhecer
nem , porque a condição isotérmica permite usar . - Sempre verifique unidades: usar
e dá . - Se o problema pedisse trabalho total e fosse dada a massa
, multiplicar o específico por : .