(Valor: 0,25) - Um volume de 0.1 \frac{\mathrm{~m}^{3}}{\mathrm{~kg}} de ar a 500 kPa expande isotermicamente em um conjunto cilindro-pistão, até a pressão de 100 kPa . Qual o trabalho? Represente o processo e o trabalho no diagrama p-v. Dica: note que com temperatura constante, m R T também é constante.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho e a representação no diagrama p- v:
  • Volume específico inicial: v_1 = 0,1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} (peguei este dado do enunciado).
  • Pressão inicial: p_1 = 500\\ \mathrm{kPa} (peguei este dado do enunciado).
  • Pressão final: p_2 = 100\\ \mathrm{kPa} (peguei este dado do enunciado).
  • O processo é isotérmico (temperatura constante), indicado no enunciado.
O que se pede:
  • Calcular o trabalho realizado durante a expansão.
  • Representar o processo e o trabalho no diagrama p- v.
Observação importante: como o enunciado fornece volume em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}, os valores referem-se a volume específico; portanto o trabalho que vamos calcular será o trabalho específico (por unidade de massa), isto é, w em \mathrm{kJ/kg}.

Passo 2

Relembrando a relação fundamental para gás ideal em forma específica (por massa):
p\,v = R\,T,
onde
  • p é a pressão (em \mathrm{kPa} ou \mathrm{Pa}),
  • v é o volume específico (em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}),
  • R é a constante específica do gás (para o ar, mas não precisaremos do seu valor numérico),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Num processo isotérmico temos T= constante, logo p\,v= constante. Em particular vale
p_1 v_1 = p_2 v_2.
Essa igualdade permite calcular v_2 sem saber T nem R.

Passo 3

Calcular o volume específico final v_2 usando p_1 v_1 = p_2 v_2:
v_2 = \frac{p_1 v_1}{p_2}.
Substituindo os números (atenção às unidades; aqui usamos \mathrm{kPa} e \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}, consistentes entre si):
v_2 = \frac{500\\ \mathrm{kPa}\times 0,1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}}{100\\ \mathrm{kPa}} = \frac{50\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3/\mathrm{kg}}{100\\ \mathrm{kPa}} = 0,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 4

Expressão para o trabalho específico em um processo quasiestático unidimensional:
w=\int_{v_1}^{v_2} p\,\mathrm{d}v.
Para o isotérmico temos p v = p_1 v_1 = \text{const}, então p = \dfrac{p_1 v_1}{v}. Substituindo na integral:
w=\int_{v_1}^{v_2} \frac{p_1 v_1}{v}\,\mathrm{d}v = p_1 v_1 \int_{v_1}^{v_2} \frac{1}{v}\,\mathrm{d}v = p_1 v_1 \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Aqui w é o trabalho específico (energia por unidade de massa). Explicando: a integral de 1/v é o logaritmo natural \ln v, por isso aparece \ln(v_2/v_1).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos na fórmula w = p_1 v_1 \ln\!\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right).
Primeiro calculemos o argumento do logaritmo:
\frac{v_2}{v_1}=\frac{0,5}{0,1}=5.
Portanto
w = p_1 v_1 \ln(5).
Substituindo p_1 v_1 = 500\\ \mathrm{kPa}\times 0,1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}=50\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. Lembre que 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{kJ}, logo a unidade resultante é \mathrm{kJ/kg}. Assim
w = 50\\ \mathrm{kJ/kg}\times \ln(5).

Passo 6

Avaliar numericamente usando \ln(5)\approx 1,6094379:
w \approx 50 \times 1,6094379\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 80,4719\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
w \approx 80,47\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação física e sinal: como o processo é uma expansão, o gás realiza trabalho sobre o entorno; nesse convênio de sinais estamos apresentando o trabalho realizado pelo gás como positivo, logo w=+80,47\\ \mathrm{kJ/kg}. Se fosse pedido o trabalho feito sobre o gás, o sinal seria negativo.

Passo 7

Como representar no diagrama p- v:
  • O processo isotérmico se representa por uma ramo hiperbólico no plano p versus v, dado por p=\dfrac{p_1 v_1}{v}.
  • Marcar no gráfico os dois pontos: (v_1,p_1)=(0,1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},\\\ 500\\ \mathrm{kPa}) e (v_2,p_2)=(0,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},\\\ 100\\ \mathrm{kPa}) — peguei estes valores dos cálculos anteriores.
  • A curva vai de v_1 (à esquerda) até v_2 (à direita), com p decrescendo.
  • O trabalho específico w é a área sob essa curva entre v_1 e v_2; para desenhar, sombreie a região entre a curva e o eixo v (linha horizontal) desde v_1 até v_2. Essa área (em \mathrm{kJ/kg}) corresponde ao valor calculado acima.

Passo 8

Observações finais e dica para prova:
  • Não foi necessário conhecer R nem T, porque a condição isotérmica permite usar p_1 v_1 = p_2 v_2.
  • Sempre verifique unidades: usar \mathrm{kPa} e \mathrm{m}^3 \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3=\mathrm{kJ}.
  • Se o problema pedisse trabalho total e fosse dada a massa m, multiplicar o w específico por m: W_{\text{total}} = m\,w.

Resposta

w = 80,47\\ \mathrm{kJ/kg}

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