O valor da condutividade térmica da banana é de 0,4811 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), expresse em termos de \mathrm{lbf} /(\mathrm{sR}). Especifique as dimensões da condutividade térmica
A condutividade térmica de um material ( k ) é definida pela Lei de Fourier, onde a transferência de energia por condução é dada por:
: \quad \frac{\vec{Q}_{x}}{A}=\vec{q}_{x}=-k \frac{\partial T}{\partial x}
Onde:
Qx: Taxa de calor; SI: W=J/s
qx: fluxo de calor; SI: W/(m²)=J/(s.m²)
k: condutividade térmica do material; SI: W/(m.K)
T: Temperatura absoluta; SI: K
X: espessura da placa; SI: m
Resp: 0,060 \mathrm{lbf} /(\mathrm{s} . \mathrm{R}) ;[\mathrm{k}]=\mathrm{M} . \mathrm{L} /\left(\mathrm{T}^{3} . \theta\right)

Passo 1

O enunciado dá a condutividade térmica da banana em unidades SI e pede para expressá‑la em unidades imperiais especificadas. Dados fornecidos:
  • Valor em SI: k=0{,}4811\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    O que é pedido:
  • Converter esse valor para \mathrm{lbf/(s\cdot R)}.
  • Especificar as dimensões físicas de k.

Passo 2

Entender as unidades físicas de k. A condutividade térmica aparece na Lei de Fourier:
\frac{\vec{Q}_x}{A}=\vec{q}_x=-k\frac{\partial T}{\partial x}.
Isso mostra que k relaciona um fluxo de força por área por unidade de gradiente de temperatura. Em termos das unidades SI:
k\\ \text{tem unidades}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Agora vamos reescrever \mathrm{W/(m\cdot K)} em termos das dimensões fundamentais. Lembrando:
  • 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}=1\\ \mathrm{N\cdot m/s},
  • 1\\ \mathrm{N}=1\\ \mathrm{kg\cdot m/s^2}.
    Logo:
\mathrm{W/(m\cdot K)}=\frac{\mathrm{N\cdot m/s}}{\mathrm{m\cdot K}}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s\cdot K}}.
Substituindo \mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}:
\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s\cdot K}}=\frac{\mathrm{kg\cdot m/s^2}}{\mathrm{s\cdot K}}=\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s^3\cdot K}}.
Portanto, as dimensões de k são:
[k]=\mathrm{M\;L\;T^{-3}\;\Theta^{-1}}.
(onde \mathrm{M} = massa, \mathrm{L} = comprimento, \mathrm{T} = tempo, \Theta = temperatura).

Passo 3

Planejamento da conversão numérica de unidades. Observação útil da simplificação anterior:
\mathrm{W/(m\cdot K)}=\mathrm{N/(s\cdot K)}.
Queremos transformar \mathrm{N/(s\cdot K)} em \mathrm{lbf/(s\cdot R)}. Precisamos de duas relações de conversão:
  • força: 1\\ \mathrm{lbf}=4{,}4482216152605\\ \mathrm{N}, portanto 1\\ \mathrm{N}=0{,}224808943\\ \mathrm{lbf}.
  • temperatura (incremento): 1\\ \mathrm{K}=1{,}8\\ \mathrm{R}, portanto 1/\mathrm{K}=1/(1{,}8\\ \mathrm{R}).

Passo 4

Fazer a conversão unitária para um fator multiplicativo por 1\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Usando a simplificação:
1\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\cdot K}}=1\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s\cdot K}}.
Convertendo \mathrm{N} para \mathrm{lbf} e \mathrm{K} para \mathrm{R}:
1\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s\cdot K}} = \frac{0{,}224808943\\ \mathrm{lbf}}{1\\ \mathrm{s}\cdot(1{,}8\\ \mathrm{R})} = \frac{0{,}224808943}{1{,}8}\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{s\cdot R}}.
Calcule o fator:
\frac{0{,}224808943}{1{,}8}=0{,}124893857\\ \text{(aprox.)}.
Assim:
1\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\cdot K}} \approx 0{,}124893857\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{s\cdot R}}.

Passo 5

Aplicar o fator ao valor numérico dado k=0{,}4811\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
k_{\text{imperial}}=0{,}4811\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\cdot K}}\times 0{,}124893857\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{s\cdot R}\cdot(\mathrm{W/(m\cdot K)})}.
Executando a multiplicação:
k_{\text{imperial}} \approx 0{,}4811\times 0{,}124893857 \approx 0{,}06010\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{s\cdot R}}.
Arredondando de forma adequada (três algarismos significativos, coerente com os dados):
k_{\text{imperial}}\approx 0{,}060\\ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{s\cdot R}}.

Passo 6

Resumo didático curto e interpretação:
  • A chave da conversão foi notar que \mathrm{W/(m\cdot K)} simplifica para \mathrm{N/(s\cdot K)}, o que facilita converter Newton para pound‑force e Kelvin para Rankine.
  • As dimensões obtidas confirmam que k tem dimensão de \mathrm{M\;L\;T^{-3}\;\Theta^{-1}}.

Resposta

0{,}060\\ \mathrm{lbf/(s\cdot R)}
[k]=\mathrm{M\;L\;T^{-3}\;\Theta^{-1}}

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