(a) Use a Eq. (6.72) com um valor estimado de \Delta \mathrm{V}^{l v}.
(b) Use a equação de Clausius/Clapeyron mostrada no Exemplo 6.5.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a variação da entropia na vaporização do benzeno a \,50^\circ\mathrm{C}\, usando duas abordagens:
(a) aplicar a equação (6.72) com um valor estimado de \Delta V^{\ell v};
(b) usar a equação de Clausius–Clapeyron do Exemplo 6.5.
Temperatura de interesse: \,T = 50^\circ\mathrm{C} (que corresponde a \,T=323{,}15\\ \mathrm{K}).
Objetivo final: estimar \Delta S_{\mathrm{vap}} (em \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}) por (a) e (b).
Passo 2
Breve teoria (para eu entender e poder aplicar na prova):
onde \Delta H_{\mathrm{vap}} é a entalpia molares de vaporização, \Delta V^{\ell v}=V_g-V_\ell é a variação do volume molar (vapor menos líquido), P_{\text{sat}} é a pressão de vapor e T é a temperatura absoluta em K.
Explicação: da Clapeyron, \dfrac{dP}{dT}=\dfrac{\Delta H}{T\,\Delta V}. Multiplicando ambos os lados por \Delta V e por 1 (reorganizando), obtemos \Delta S=\Delta H/T=\Delta V\,dP/dT. Aqui \Delta S tem unidades de \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} porque \mathrm{Pa\cdot m^3 = J}.
Formulação Clausius–Clapeyron aproximada (vapor ideal e \Delta V\approx V_g):
Nota sobre derivadas: a equação dada no enunciado escreve \ln P_{\text{sat}} em função de T medido em ^\circ\mathrm{C}. Como um incremento de 1^\circ\mathrm{C} = incremento de 1\,\mathrm{K}, a derivada numérica \dfrac{d}{dT} tem o mesmo valor quer eu use T em ^\circ\mathrm{C} quer em K, desde que seja consistente. Portanto posso derivar a expressão exatamente como dada.
Passo 3
Calcular a pressão de vapor \,P_{\text{sat}} a 50^\circ\mathrm{C} usando a equação fornecida.
Defino T_c = 50 (temperatura em ^\circ\mathrm{C}). Então
Volume molar do líquido (V_\ell): o volume molar do benzeno líquido é da ordem de \sim 89\\ \mathrm{mL/mol}=8{,}9\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol} (obtido a partir de massa molar M\approx78{,}11\\ \mathrm{g/mol} e densidade típica \rho\approx0{,}874\\ \mathrm{g\,mL^{-1}}).
Esse valor é cerca de 10^3 vezes menor que V_g aqui, portanto é seguro aproximar
E então \Delta S=\Delta H/T \approx 33050/323{,}15 \approx 102{,}3\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Passo 9
Interpretação final e incentivo rápido: os dois métodos dão essencialmente o mesmo número (isso acontece porque na parte (a) usei a estimativa \Delta V\approx V_g = RT/P que é exatamente a hipótese usada na dedução da forma Clausius–Clapeyron). O valor final é coerente com entalpias de vaporização típicas do benzeno (ordem de 30\text{–}35\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}).
Você está indo bem — com essa técnica dá para calcular rápido na prova: calcule P e d\ln P/dT da expressão fornecida, use \Delta S = R T\, d\ln P/dT para um resultado direto.