Vapor d’água entra num bocal adiabático na pressão de 4,0 M P a, temperatura de 500^{\circ} \mathrm{C} e velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída do bocal a pressão é 1,0 \mathrm{MPa}. A vazão do vapor é 2,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Calcular a velocidade na saída do bocal para que haja reversibilidade no processo. Calcular, também, nesse caso, as áreas na entrada e saída do bocal. ( 3,0 \mathrm{p} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede dois resultados (peguei todos os números diretamente do enunciado):
  • Pressão de entrada: \,P_1 = 4{,}0\\ \text{MPa} = 4{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • Temperatura de entrada: \,T_1 = 500^\circ\text{C} = 773{,}15\\ \text{K}.
  • Velocidade de entrada: \,V_1 = 10\\ \text{m/s}.
  • Pressão de saída: \,P_2 = 1{,}0\\ \text{MPa} = 1{,}0\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • Vazão mássica: \,\dot m = 2{,}0\\ \text{kg/s}.
O enunciado pede:
  1. Calcular a velocidade na saída do bocal, supondo que o processo seja reversível (e adiabático).
  2. Calcular as áreas na entrada e na saída do bocal (ou seja, A_1 e A_2) nesse caso.

Passo 2

Interpretação física e hipótese de cálculo (sem iniciar contas ainda).
  • Um bocal adiabático e reversível em regime estacionário corresponde a um escoamento isentrópico (isto é, sem geração de entropia útil). Portanto usaremos a hipótese \,s_2 = s_1 (isentropia).
  • A equação de energia para escoamento estacionário, unidimensional, sem trabalho de eixo e sem variação de energia potencial é a forma simplificada:
h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica (J/kg) e V a velocidade (m/s).
  • Para obter h_2 associado a P_2 sob a condição isentrópica precisamos relacionar temperaturas e pressões. Como não temos tabelas de vapor dentro do enunciado, adotaremos um modelo simples e didático: tratar o vapor como gás perfeito com calor específico aproximadamente constante, o que nos permite usar a relação isentrópica para gás perfeito e calcular a queda de temperatura e, então, a variação de entalpia aproximada. Vou explicar e justificar cada constante que uso.

Passo 3

Relações e constantes usadas (e por que).
  • Relação isentrópica para gás perfeito (processo reversível e adiabático) entre temperaturas e pressões:
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}},
onde k é a razão entre calores específicos k = \dfrac{c_p}{c_v}.
  • Variação de entalpia aproximada para calor específico constante:
h_1 - h_2 \approx c_p\,(T_1 - T_2).
  • Energia cinética: usar a equação do Passo 2 para obter V_2:
V_2 = \sqrt{V_1^2 + 2\,(h_1 - h_2)}.
Observação sobre unidades: aqui h em J/kg; se c_p for dado em \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}) convertê-lo para J/(kg·K) (multiplicar por 1000).
  • Para obter as áreas usaremos a equação da continuidade:
\dot m = \rho\,A\,V \quad\Rightarrow\quad A = \frac{\dot m}{\rho\,V},
onde a densidade \rho será aproximada pela equação dos gases ideais:
\rho = \frac{P}{R\,T}.
Constantes que adotarei (valores típicos para vapor d’água em regime superaquecido, razoáveis para uma estimativa didática):
  • Constante dos gases para a água vapor: \,R = 0{,}4615\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}) = 461{,}5\\ \text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K}).
  • Calor específico a pressão constante aproximado: \,c_p \approx 1{,}90\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}) = 1900\\ \text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K}).
  • Com isso \,c_v = c_p - R = 1900 - 461{,}5 = 1438{,}5\\ \text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K}).
  • Logo k = c_p/c_v \approx 1900/1438{,}5 \approx 1{,}3216.
Comentário didático: essas aproximações (gas perfeito com c_p constante) são comumente usadas para estimativas rápidas quando não se têm tabelas à mão; resultados mais acurados viriam ao usar tabelas termodinâmicas do vapor (e aí o procedimento conceitual é o mesmo: obter s_1 e, sob isentropia, achar h_2 à pressão P_2, depois aplicar a equação de energia).

Passo 4

Calcular a temperatura de saída \,T_2 usando a relação isentrópica (modelo adotado).
  • Primeiro calculemos o expoente:
\frac{k-1}{k} = \frac{1{,}3216-1}{1{,}3216} = \frac{0{,}3216}{1{,}3216} \approx 0{,}2433.
  • Agora a razão de pressões é \dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{1{,}0}{4{,}0} = 0{,}25.
  • Então
T_2 = 773{,}15\\ \text{K}\times (0{,}25)^{0{,}2433}.
Calculemos (0{,}25)^{0{,}2433}:
(0{,}25)^{0{,}2433} = \exp\big(0{,}2433\ln 0{,}25\big) \approx \exp(-0{,}3375) \approx 0{,}7136.
Portanto
T_2 \approx 773{,}15\times 0{,}7136 \approx 551{,}66\\ \text{K}.
Em graus Celsius isso é T_2 \approx 551{,}66 - 273{,}15 = 278{,}51^\circ\text{C}.

Passo 5

Calcular a variação de entalpia aproximada \,h_1 - h_2 usando c_p constante.
h_1 - h_2 \approx c_p\,(T_1 - T_2) = 1900\\ \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\times (773{,}15 - 551{,}66)\\ \text{K}.
A diferença de temperaturas é 221{,}49\\ \text{K}. Então
h_1 - h_2 \approx 1900\times 221{,}49 \approx 420\,831\\ \text{J/kg} \approx 420{,}83\\ \text{kJ/kg}.

Passo 6

Aplicar a equação de energia para achar V_2.
V_2 = \sqrt{V_1^2 + 2\,(h_1 - h_2)}.
Substituindo V_1 = 10\\ \text{m/s} e h_1-h_2 = 420\,831\\ \text{J/kg}:
V_2 = \sqrt{10^2 + 2\times 420\,831} = \sqrt{100 + 841\,662} = \sqrt{841\,762}.
Logo
V_2 \approx 917{,}56\\ \text{m/s}.
Arredondando para termos significativos e legibilidade, tomaremos V_2 \approx 918\\ \text{m/s}.
Comentário físico: esse valor indica escoamento muito rápido, possivelmente supersônico na saída (verificação rápida mais abaixo).

Passo 7

Calcular as densidades nas seções (modelo de gás ideal) e, então, as áreas A_1 e A_2.
Densidade na saída:
\rho_2 = \frac{P_2}{R\,T_2} = \frac{1{,}0\times10^{6}}{461{,}5\times 551{,}66}
Calcule o denominador: 461{,}5\times 551{,}66 \approx 254\,663. Assim
\rho_2 \approx \frac{1{,}0\times10^{6}}{254\,663} \approx 3{,}926\\ \text{kg/m}^3.
Densidade na entrada:
\rho_1 = \frac{P_1}{R\,T_1} = \frac{4{,}0\times10^{6}}{461{,}5\times 773{,}15}.
Denominador: 461{,}5\times 773{,}15 \approx 356\,767. Assim
\rho_1 \approx \frac{4{,}0\times10^{6}}{356\,767} \approx 11{,}209\\ \text{kg/m}^3.
Agora as áreas pela continuidade \,A = \dfrac{\dot m}{\rho V}.
Área na saída:
A_2 = \frac{\dot m}{\rho_2\,V_2} = \frac{2{,}0}{3{,}926\times 917{,}56} \approx \frac{2{,}0}{3602{,}6} \approx 0{,}0005554\\ \text{m}^2.
Área na entrada:
A_1 = \frac{\dot m}{\rho_1\,V_1} = \frac{2{,}0}{11{,}209\times 10} = \frac{2{,}0}{112{,}09} \approx 0{,}01784\\ \text{m}^2.

Passo 8

Verificações e observações (didáticas e de plausibilidade).
  • Velocidade de saída obtida V_2\approx 918\\ \text{m/s}. Vamos comparar com a velocidade do som na saída estimada por a=\sqrt{k R T_2}:
a = \sqrt{1{,}3216\times 461{,}5\times 551{,}66}\approx \sqrt{336\,748}\approx 580{,}4\\ \text{m/s}.
Como V_2 > a, o escoamento calculado é supersônico na saída. Em um bocal real sujeito a uma pressão de descarga fixa pode ocorrer escoamento choked e ondas de choque; esse cálculo isentrópico nos dá a velocidade teórica de expansão reversível até a pressão de descarga. Portanto o resultado é fisicamente consistente com uma forte expansão (e indica que um tratamento mais detalhado com tabelas/ondas de choque poderia ser necessário para maior precisão).
  • Observação sobre aproximações: usei a aproximação de gás perfeito com c_p constante. Se fossem usadas tabelas de vapor saturado/superaquecido (procedimento mais exato), faria-se: obter s_1 em (P_1,T_1), encontrar h_2 em P_2 tal que s(P_2,h_2)=s_1, e então aplicar a equação de energia para V_2. Esse procedimento dá resultados próximos, mas não idênticos; a metodologia conceitual é a mesma.

Resposta

V_2 \approx 918\\ \text{m/s}
A_1 \approx 0{,}01784\\ \text{m}^2
A_2 \approx 5{,}55\times10^{-4}\\ \text{m}^2

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