Vapor d’água entra num bocal adiabático na pressão de
, temperatura de
e velocidade de
. Na saída do bocal a pressão é
. A vazão do vapor é
. Calcular a velocidade na saída do bocal para que haja reversibilidade no processo. Calcular, também, nesse caso, as áreas na entrada e saída do bocal. (
)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede dois resultados (peguei todos os números diretamente do enunciado):
- Pressão de entrada:
. - Temperatura de entrada:
. - Velocidade de entrada:
. - Pressão de saída:
. - Vazão mássica:
.
O enunciado pede:
- Calcular a velocidade na saída do bocal, supondo que o processo seja reversível (e adiabático).
- Calcular as áreas na entrada e na saída do bocal (ou seja,
e ) nesse caso.
Passo 2
Interpretação física e hipótese de cálculo (sem iniciar contas ainda).
- Um bocal adiabático e reversível em regime estacionário corresponde a um escoamento isentrópico (isto é, sem geração de entropia útil). Portanto usaremos a hipótese
(isentropia). - A equação de energia para escoamento estacionário, unidimensional, sem trabalho de eixo e sem variação de energia potencial é a forma simplificada:
onde
é a entalpia específica (J/kg) e
a velocidade (m/s).
- Para obter
associado a sob a condição isentrópica precisamos relacionar temperaturas e pressões. Como não temos tabelas de vapor dentro do enunciado, adotaremos um modelo simples e didático: tratar o vapor como gás perfeito com calor específico aproximadamente constante, o que nos permite usar a relação isentrópica para gás perfeito e calcular a queda de temperatura e, então, a variação de entalpia aproximada. Vou explicar e justificar cada constante que uso.
Passo 3
Relações e constantes usadas (e por que).
- Relação isentrópica para gás perfeito (processo reversível e adiabático) entre temperaturas e pressões:
onde
é a razão entre calores específicos
.
- Variação de entalpia aproximada para calor específico constante:
- Energia cinética: usar a equação do Passo 2 para obter
:
Observação sobre unidades: aqui
em J/kg; se
for dado em
convertê-lo para J/(kg·K) (multiplicar por
).
- Para obter as áreas usaremos a equação da continuidade:
onde a densidade
será aproximada pela equação dos gases ideais:
Constantes que adotarei (valores típicos para vapor d’água em regime superaquecido, razoáveis para uma estimativa didática):
- Constante dos gases para a água vapor:
. - Calor específico a pressão constante aproximado:
. - Com isso
. - Logo
.
Comentário didático: essas aproximações (gas perfeito com
constante) são comumente usadas para estimativas rápidas quando não se têm tabelas à mão; resultados mais acurados viriam ao usar tabelas termodinâmicas do vapor (e aí o procedimento conceitual é o mesmo: obter
e, sob isentropia, achar
à pressão
, depois aplicar a equação de energia).
Passo 4
Calcular a temperatura de saída
usando a relação isentrópica (modelo adotado).
- Primeiro calculemos o expoente:
- Agora a razão de pressões é
. - Então
Calculemos
:
Portanto
Em graus Celsius isso é
.
Passo 5
Calcular a variação de entalpia aproximada
usando
constante.
A diferença de temperaturas é
. Então
Passo 6
Aplicar a equação de energia para achar
.
Substituindo
e
:
Logo
Arredondando para termos significativos e legibilidade, tomaremos
.
Comentário físico: esse valor indica escoamento muito rápido, possivelmente supersônico na saída (verificação rápida mais abaixo).
Passo 7
Calcular as densidades nas seções (modelo de gás ideal) e, então, as áreas
e
.
Densidade na saída:
Calcule o denominador:
. Assim
Densidade na entrada:
Denominador:
. Assim
Agora as áreas pela continuidade
.
Área na saída:
Área na entrada:
Passo 8
Verificações e observações (didáticas e de plausibilidade).
- Velocidade de saída obtida
. Vamos comparar com a velocidade do som na saída estimada por :
Como
, o escoamento calculado é supersônico na saída. Em um bocal real sujeito a uma pressão de descarga fixa pode ocorrer escoamento choked e ondas de choque; esse cálculo isentrópico nos dá a velocidade teórica de expansão reversível até a pressão de descarga. Portanto o resultado é fisicamente consistente com uma forte expansão (e indica que um tratamento mais detalhado com tabelas/ondas de choque poderia ser necessário para maior precisão).
- Observação sobre aproximações: usei a aproximação de gás perfeito com
constante. Se fossem usadas tabelas de vapor saturado/superaquecido (procedimento mais exato), faria-se: obter em , encontrar em tal que , e então aplicar a equação de energia para . Esse procedimento dá resultados próximos, mas não idênticos; a metodologia conceitual é a mesma.